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本文是在课本[7]上的基本换位计算公式的基础上,对于给出的类3和4的幂零群,通过分别计算其中几个元素的集积公式,归纳并证明得到了有限个元素的集积公式。本论文分为四个部分:第一部分是引言,主要介绍了研究背景及前人在该方面的一些工作,并且给出了本文的结论;第二部分是预备知识,列举了本文涉及的相关知识;第三部分是类3的幂零群的集积公式,得到如下几个定理:定理3.1群G是类3的幂零群,x,y,z∈G,则有(xyz)n=xnynzn[y,x]Cn2[z,y]Cn2[z,x]Cn2[y,x,x]Cn3[y,x,y]Cn2+2C3[y,x,z]2Cn2+2Cn3[z,x,x]Cn3[z,y,y]Cn3[z,x,z]Cn2+2Cn3[z,y,z]Cn2+2Cn3[z,x,y]Cn2+2Cn3定理3.2群G是类3的幂零群,x,y,z,k∈ G,则有(xyzk)n=xnynznkn[y,x]Cn2[z,y]Cn2[z,x]Cn2[k,z]Cn2[k,y]Cn2[k,x]Cn2[y,x,x]Cn3[k,y,y]C3[z,y,y]Cn3[k,z,z]Cn3[z,x,x]Cn3[k,x,x]Cn3[k,x,y]Cn2+2Cn3[y,x,k]2Cn2+2Cn3[z,x,y]Cn2+2Cn3[y,x,y]Cn2+2Cn3[k,x,z]Cn2+2Cn3[k,y,z]Cn2+2Cn3[z,x,z]Cn2+2Cn3[z,y,z]C2n2+2Cn3[k,z,k]Cn2+2Cn3[k,y,k]Cn2+2Cn3[k,x,k]Cn2+2Cn3[y,x,z]2Cn2+2Cn3[z,y,k]2Cn2+2Cn3[z,x,k]2Cn2+2Cn3定理3.3群G是类3的幂零群,x1,x2,…,xm∈ G,则有(x1x2·xm)n=x1nx2n·xmn(?)[xj,xi]Cn2(?)[xj,xi,xi]Cn3(?)[xk,xj,xi]Cn2+2Cn3(?)[xk,xj,xi]2Cn2+2Cn3第四部分是类4的幂零群的集积公式,得到如下几个定理:定理4.1群G是类4的幂零群,x,y ∈ G,则有(xy)n=xnyn[y,x]Cn2[y,x,y]Cn2+2Cn3[y,x,x]Cn3[y,x,x,x]Cn4[y,x,x,y]2Cn3+3Cn4[y,x,y,y]2Cn3+3Cn4定理4.2群G是类4的幂零群,x,y ∈ G,则有(xyz)n=xnynzn[y,x]Cn2[z,y]Cn2[z,x]Cn2[y,x,z]2Cn2+2Cn3[y,x,y]Cn2+2Cn3[z,x,z]Cn2+2Cn3[z,y,z]Cn2+2Cn3[z,x,y]Cn2+2Cn3[z,x,x]Cn3[z,y,y]Cn3[y,x,x]Cn3[z,x,y,y]2Cn3+3Cn4[y,x,z,z]Cn2+4Cn3+3Cn4[z,x,y,z]Cn2+6Cn3+6Cn4[y,x,x,z]3Cn3+3Cn4[y,x,y,y]2Cn3+3Cn4[z,x,x,z]2Cn3+3Cn4[z,x,x,y]2Cn3+3Cn4[y,x,x,y]2Cn3+3Cn4[y,x,y,z]2Cn2+8Cn3+6C4n4[z,y,z,z]2Cn3+3Cn4[z,y,y,z]2Cn3+3Cn4[z,x,z,z]2Cn3+3Cn4[z,y,y,y]Cn4[y,x,x,x]Cn4[z,x,x,x]C4n4[[z,x],[y,x]]2Cn3+3Cn4[[z,y],[y,x]]2Cn3+3Cn4[[z,x],[z,y]]2Cn3+3Cn4定理4.3群G是类4的幂零群,x1,x2,…,xm ∈ G,则有(x1x2…xm)n=x1nxn2…xnn(?)[xi,xj]Cn2[xi,xj,xj]Cn3[xi,xj,xk]Cn2+2Cn3(?)[xj,xj,xk]2Cn2+2Cn3[xi,xj,xj,xj]Cn4(?)[xi,xj,xk,xl]2Cn3+3Cn4(?)[xi,xj,xj,xk]3Cn3+3Cn4(?)[xi,xj,xk,xl]2Cn2+8Cn3+6Cn4(?)[[xi,xj],[xk,xl]]2Cn3+3Cn4(?)[xi,xj,xk,xl]Cn2+6Cn3+6Cn4(?)[xi,xj,xk,xk]Cn2+4Cn3+3Cn4(?)[xi,xj,xk,xk]4Cn2+10Cn3+6Cn4