【摘 要】
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在本文的第一章,我们考虑了如下形式的Zeta函数其中α,β为给定的有理数,满足0<α1/3并得到如下均值结果：定理1.2.令T≥2且s=σ+it,则对任意1/2<σ0,使得一个三维数组（a,b,c）∈N3,如果满足a2+b2=c2,a2,令P（x
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在本文的第一章,我们考虑了如下形式的Zeta函数其中α,β为给定的有理数,满足0<α<β且我们证明了ζα,β（s）可以解析延拓到（?）s>1/3并得到如下均值结果：定理1.2.令T≥2且s=σ+it,则对任意1/2<σ<1,一定存在正常数ε（σ）>0,使得一个三维数组（a,b,c）∈N3,如果满足a2+b2=c2,a<b且gcd（a,b,c）=1,那么我们称之为一个原直角三角形.对x>2,令P（x）为周长不超过x的原直角三角形的个数.作为定理1.2的一个应用,我们得到定理1.3.在Riemann假设下,对x≥2以及任意E>0,有这改进了[18]中余项的指数（?）.在本文的第二章,我们考虑了含有尖形式傅立叶系数的指数和.令f（z）为一个SL2（Z）上的权为k的全纯尖形式,则.f（z）有如下傅立叶展开式其中e（z）=e2πiz.类似的,令u（z）为一个SL2（Z）上具有Laplace特征值1/4+r2的Maass尖形式,则u（z）有如下傅立叶展开式这里K为K-Besscl函数.在[26]中,Pitt考虑了含有傅立叶系数a（n）的指数和并且证明了,对任意的ε>0,有对α,β∈R一致成立,其中《中的隐含常数仅与ε和尖形式f有关.本文我们改进了Pitt的结果,证明了如下结论.定理2.1.令X≥2,且a（n）由（2.1）或（2.2）给出,则对任意E>0我们有对α,β∈R一致成立,且《中的隐含常数仅与ε以及（2.1）或（2.2）中的尖形式f有关.
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