动力系统的分支理论是常微分方程定性理论的重要研究领域之一,主要研究依赖于参数的向量场的全局轨线拓扑结构随参数变化的规律.就平面向量场的分支理论而言,对于极限环分支的研究已成为人们关注的主要问题.对Abel积分零点个数的求解举步维艰,所以对弱Hilbert第16问题的研究仍然是当今的热门课题之一.本文主要内容可概括如下:1.利用Picard-Fuchs方程、椭圆积分的性质以及常微分方程解析理论,证明了对一类具有双中心的三次Hamilton可积系统,在一般三次多项式扰动下,其Abel积分零点个数的上确界为3,即在每个中心型奇点外围能而且只能扰动出3个极限环.2.提出了求解Abel积分零点个数的代数方法.与已有的研究方法不同,我们从Abel积分生成元和其各阶微分所组成的行列式的定号性来判别Abel积分零点的个数,因此可借助于符号运算系统计算,从而将极限环分支的研究从定性化转向定量化.3.研究了二次非Hamilton可积系统的极限环分支.首先在Jiang Yu and Chengzhi Li(2002)的工作基础上,研究了直线q/c=3/2上,当b>2时一种Q<,3>类可积非Hamilton系统的环性;然后采用将Abel积分进行幂级数展开的方法,解决了一类双曲线边界二次系统单中心环域的Poincare分支问题.4.利用平面向量场极限环分支的Hopf分支理论,研究了一类具有非线性传染率kIS的SIRS传染病传播的动力学模型.本文给出的这种简化平衡点坐标表达式的方法适用于一般情形,从而使奇点焦点量的计算简洁和可行.为进行系统的Hopf分支的研究以及定性分析创造了条件.其次,建立了带有潜伏期及终身免疫的SARS传染病SEIR动力学模型及参数辨识系统.论证了该类控制模型的主要数学性质以及系统的流不变性和弱不变性.根据官方网站公布的疫情数据辨识了SEIR模型中的参数,数值模拟结果表明了模型、算法的正确性和有效性.