基于算术平均、指数平均及对数平均均被证明是Bernstein函数的研究现状，本文运用了不同的方法首先证明了几何平均和调和平均均为Bernstein函数，并通过重要的复变函数工具-Cauchy积分公式建立了它们的积分表示，进而得到了一种证明著名的算术几何平均(AG平均)不等式的新方法。然后，本文对所研究的几何平均的性质进行推广，从而得到了多元几何平均也为Bernstein函数的结论，同样建立其积分表示并得到多元AG平均不等式的证明。更进一步，本文也研究了加权几何平均的相关性质，证明其为Bernstein函数并建立其积分表示，从而得到对数平均的一个新的积分表达式以及算术平均与对数平均的关系式。　　 同时，本文也引入了一个与对数函数有关的Stieltjes函数，通过建立其积分表达式证明了它是一个Stieltjes函数，然后运用其积分表达式得到了第二类Bernoulli数的显式计算式并证明了由第二类Bernoulli数所构成的数列是完全单调的。这为我们计算第二类Bernoulli数提供了一个新的方法。　　 最后，本文研究了与指数函数及单位分解的存在性有关的三个函数的性质，其中包括它们导数的显式计算式，解析性，完全单调性，对数完全单调性等等，并提出了一个有意义的待解问题。而在最近的一些研究结果中，作者不仅解决了这个问题而且将这部分内容与Bessel函数建立了联系。简而言之，本文所得结果拓广了国内外该方向的研究、丰富了其研究内容。