随着科学技术的发展,四元数矩阵在诸如航空系统、姿态控制等领域的应用日益广泛。与此同时,对系统的稳定性判断和状态估计是重要的技术操作过程。Lyapunov方程作为重要的研究工具之一,一直备受科研工作者的关注。比如,混合Lyapunov方程在多变量时滞系统的稳定性分析和最优控制方面,往往可简化问题的结论,并增强对系统判断的操作性。因此,研究混合Lyapunov方程的解算方法,是一项有意义的课题。本文主要研究四元数体上统一代数Lyapunov方程和一般混合型Lyapunov方程在不同条件下的求解方法。具体内容有:一、通过四元数实表示运算的保结构性,讨论了统一代数Lyapunov方程（AX +XA*+θAXA*=-B）在相容条件下的自共轭解和正定解存在条件,给出迭代算法,并分析迭代收敛性,以及采样周期θ的选取方法。二、讨论了四元数体上统一代数Lyapunov方程（AX + XA* +θAXA* =-B,A∈SCn（Q））的最小二乘解和最小二乘自共轭解的通解表达式,同时分别给出其相应的极小范数最小二乘解和最小二乘自共轭解。三、讨论了离散时间代数Lyapunov方程的酉矩阵反问题。主要采用四元数矩阵F范数的酉不变性和Hermite矩阵可酉对角化的性质,给出了反问题有解的充要条件及一部分最小二乘解。四、对一般混合型Lyapunov方程（AX + XA* + BXB* =-P）,利用四元数矩阵保结构运算,讨论了它的自共轭解和正定解存在条件,并建立相应的解算方法。最后,给出它的最小二乘自共轭解。