单指标模型是一种重要的半参数模型,它是处理多元非参数回归问题的有力工具.由于它将一个多元向量转化为一个单指标参数,具有降维的作用,不仅回避了多元非参数回归中的“维数魔鬼(curse of dimensionality)”,而且抓住了高维数据的重要特征.统计推断是统计学研究的核心,此外统计诊断也是统计学研究必须考虑的问题.本文采用一些不同于单指标模型既有文献的研究方法,研究单指标模型的统计推断问题和统计诊断的四个问题.本文研究的第一个问题是单指标模型的统计诊断,考虑到单指标模型的复杂性,我们仅研究模型的微小扰动对惩罚样条最小二乘估计的局部影响,提出了诊断统计量,研究了各种可能的微小扰动对估计的具体影响,并考察了一个具体实例.其次,我们研究的第二个问题是单指标模型的M-估计,这一部分我们从三个方面研究单指标模型的M-估计,第一个方面是利用B-样条近似未知回归函数的方法提出了获得单指标模型的M-估计的方法,在一些较弱的条件下,证明了其大样本性质;第二个方面为考虑部分线性单指标模型的基于B—样条的M-估计问题,提出了获得M-估计的方法,并在一些条件下证明了大样本性质;第三个方面是利用局部线性近似方法提出了获得部分线性单指标模型基于局部线性近似的两步M-估计程序,并研究了其大样本性质.再次,我们研究的第三个问题是单指标模型中未知参数的置信区域问题,基于Owen经验似然方法与B-样条近似逼近方法,得到了估计经验对数似然比,在一些正则条件下,证明了估计的经验对数似然比的渐近分布是标准的χ~2-分布,并根据这一结果构造了单指标模型的未知参数的B-样条经验似然置信区域,研究了其大样本性质.最后,我们研究的第四个问题是分层非线性随机混合效应模型的相关性与异方差性检验问题,依据对数拟积分似然的Laplace近似展开提出了检验统计量,在一些正则条件下,得到了检验统计量的渐近分布是一个标准的χ~2-分布,通过Monte Carlo模拟研究了其小样本的表现,实例验证了其实际应用.