半个多世纪以来，经过许多天体物理学家和应用数学家的共同努力，使得有关太阳无力磁场的研究一直长盛不衰、结出硕果无数，其数学和物理内容之丰富多彩委实令人惊叹。这其中最重要的一个问题就是通过数值方法求解太阳无力磁场方程的边值问题。我国学者颜毅华研究员独树一帜，推导出太阳无力磁场方程边值问题的边界积分公式，并用边界元方法进行数值计算，在国际天体物理学界赢得了广泛的认可，特别对解释日冕物理作出了杰出的贡献。本文紧密围绕颜毅华研究员开拓的太阳无力磁场边界积分方法开展工作，致力于全面系统地发展求解Yan方程的快速算法，以便进一步开拓Yan方程的应用空间，同时拉动相关快速算法的发展。本文完成如下工作： 1．将求解非对称线性方程组的现代迭代算法广义最小残量法引入太阳无力磁场边界元外推计算中，以便高效地求解其中的边界元方程组。以著名的Low无力场为基础，实施了高强度的数值实验，以便揭示广义最小残量法相对于太阳无力磁场边界元方程组的收敛性。特别地，详细考察了相关参量对收敛速度的影响，为在实际计算中确定相应的参数提供了依据。依赖于所取的求解器参数，当问题的阶数达到12321阶以上时，新程序的效率比原始程序至少提高1000倍；当精度要求比较松弛时，效率提高可达9000倍，能有力地支持边界元外推的日常使用。 2．对太阳常α无力磁场外推的Chiu-Hilton方法和Yan方法作了定量性能评估。这里的两个边界积分公式通过不同的机制使用横场信息：Chiu-Hilton方法以隐性方式（至少局部地）使用横场，Yan方法以显性方式使用全部横场。就所考虑的例子而言，在边界条件充足的情形下，两种方法均能以合理的精度在有效域内重构解析磁场；而以显性方式使用全部横场的Yan方法更具有优势，能在较小的视场观测条件下，使重构的磁场符合关键指标。由于最新研究表明存在能够表示为常α无力磁场的有力磁场，这里的结果对发展更高级的有力磁场外推时选择相应常α无力磁场求解器提供了依据． 3．提出计算太阳常α无力磁场的修正Nystrom外推方法，旨在提高生成矩阵以及磁场外推这两个阶段的计算效率。该算法避免了边界元方法中的插值基函数和局部坐标，并通过引入对偶网格来离散边界积分公式中的积分变量和参数变量，从而克服核函数的奇异性。对边界元方法和修正Nystrom方法中涉及的计算量作了算术估计．数值算例表明当边界数据的分辨率较细时，两种外推方法的精度相当，而修正Nystrom外推程序的总体效率比新的边界元外推程序提高了大致7倍。 4．将快速小波变换应用于求解太阳无力磁场边界元方程组。首先，为了使得快速小波变换适应非二进阶的系数矩阵，提出二进分块快速小波变换，有效地扩大了快速小波变换在物理问题中的应用范围。其次，为了求解大规模情形下的太阳无力磁场边界元方程组，提出紧压缩算法，其关键想法是将稠密矩阵逐块地生成、变换、压缩。解决了标准算法占用大量额外内存的缺陷，同时具有标准算法的简单性和通用性。这样，即使当系数矩阵的规模超出内存以及虚拟内存若干倍时，紧压缩算法仍然可以高效地运转，只要稠密系数矩阵具有足够的小波可压缩性。再次，给出了稀疏解在一定条件下的小波域误差估计公式，为选择适当的阈值提供了线索。第四，针对问题涉及到很多参量，而阈值稀疏化是非线性算子，提出OTDT分析作为对整个问题进行系统全面数值实验的通用框架，为确定优化参量提供参照依据。最后，将OTDT分析和紧压缩算法成功地用于求解太阳无力磁场边界元方程组。