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图论是应用数学的一个重要且活跃的分支,它广泛应用于各个领域,如计算机网络,生命科学,生物化学,组合优化,分子理论等.图谱理论是图论研究中的一大热点.1971年, Graham和Pollack建立了距离矩阵的负特征值的个数与数据通信系统中寻址问题之间的关系.并同时证明了树的距离矩阵的行列式是一个只与其顶点个数有关的函数.这个引人注目的结果使距离矩阵的谱性质成为一个热门的研究主题.本文在前人研究的基础上,应用图论和代数相结合的方法以及矩阵的相关理论性质研究了图和赋权树的距离谱并得到了一些有意思的结论.本文共分为六个章节,第一章是绪论部分,第二章主要考虑了λn(D(G))∈[?1+√172,?1?√2)中的连通图;第三章和第四章分别研究了距离特征值-2和0的重数问题;第五章主要针对特殊图类的距离谱谱距问题进行研究;第六章给出了关于赋权树的距离谱半径的一些结果.下面我们分别简要介绍一下这六章的主要内容. (一)第一章首先回顾了图论的起源,特别是对图的距离矩阵的研究进行了简介.其次,介绍了本文用到的一些概念和记号,对于一些特殊的记号,我们将在相关章节给出具体介绍. (二)第二章首先介绍了研究背景.本章第二小节介绍了证明主要结果需要的一些结论.第三小节刻画了λn(D(G))∈[?1+√172,α?1)∪[α?1,?1?√2)中的连通图并证明了这些图由其距离谱唯一确定,其中α是x3?x2?3x+1=0的最小根,?1+√172<α?1
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