图像去噪是图像处理和计算机视觉及其应用中的一个基本问题。图像去噪的目的是从噪声图像中复原不含噪声的原始图像,同时尽可能地保持图像中的边缘和纹理等细节信息。基于偏微分方程的图像去噪方法,由于其具有较强的局部自适应性,高度的灵活性,以及具有良好的数学理论基础等优点而受到广泛关注。本文主要运用偏微分方程研究图像的去噪问题,提出了几种新的去噪模型,同时解决了模型的弱解存在性问题。主要工作有以下几个方面:在第二章中,为了降低TV去噪模型的阶梯效应,提出了一种基于TV和p-Laplacian(1<p≤ 2)相结合的自适应二阶偏微分方程的图像降噪模型。利用边界检测函数,我们可以根据图像的结构特征,在TV和p-Laplacian(1<p≤2)之间自适应的控制扩散。该模型去除噪声的同时,能有效的减少平滑区域的阶梯效应,并能保持图像的边缘信息。数值实验证实该模型有较理想的去噪效果。在第三章中,为了克服类似PM模型的二阶去噪模型的缺陷。各种高阶去噪模型成为研究对象,但是,有关这类方程的理论研究的文献并不是很多。在本章中,我们提出一种二阶项和四阶项相结合的自适应四阶偏微分方程的图像降噪模型。该模型的优点在于利用二阶项保持图像边缘;利用四阶项消除平滑区域的阶梯效应。在理论研究方面,通过定义k阶有界部分变差空间(BPVk),我们证明了该四阶偏微分方程的弱解是存在的。实验结果表明该去噪方法在去除噪声的同时,能很好的保留图像边缘并抑制阶梯效应。在第四章中,利用Fourier变换域定义的分数阶导数对图像进行建模,提出了一种基于分数阶项和TV项相结合的自适应分数阶偏微分方程的图像降噪模型。在平滑区域自适应地选择分数阶项去噪,在边缘附近自适应地选择TV项去噪。在理论研究方面,我们证明了该空间分数阶偏微分方程的弱解是存在的。数值实验验证了该模型能有效地提高去噪性能。