【摘 要】
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本文介绍与太阳系天体运动相关的开普勒定律和KAM定理。在惯性参考系和笛卡尔坐标系下,描述天体运动的数学模型是牛顿方程。开普勒运动定律表示地球绕太阳运行的轨道是椭圆,太阳位于轨道的一个焦点上。在“作用量——角”坐标下,如果忽略月球引力,描述天体运动的数学模型是可积哈密顿方程组,在相空间轨线位于不变环面上,根据初始条件的不同,可能是周期轨,也可能是拟周期轨;当考虑月亮带来的周期性影响时,描述天体运动的
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本文介绍与太阳系天体运动相关的开普勒定律和KAM定理。在惯性参考系和笛卡尔坐标系下,描述天体运动的数学模型是牛顿方程。开普勒运动定律表示地球绕太阳运行的轨道是椭圆,太阳位于轨道的一个焦点上。在“作用量——角”坐标下,如果忽略月球引力,描述天体运动的数学模型是可积哈密顿方程组,在相空间轨线位于不变环面上,根据初始条件的不同,可能是周期轨,也可能是拟周期轨;当考虑月亮带来的周期性影响时,描述天体运动的数学模型是近可积哈密顿方程组,KAM定理表示相空间拟周期轨能够保存。在内容安排上,本文首先介绍了背景知识。接着介绍了简化的二体问题:地球和太阳在万有引力作用下的运动,展示了开普勒行星运动三大定律和定律的证明过程,并介绍了与后文相关的一些命题。然后介绍了 KAM定理简单的例子:圆周自同胚共轭与旋转,展示了 KAM定理的主要框架和证明要点。证明要点分为线性化和迭代两部分。最后介绍了 KAM定理一般的例子:非退化近可积哈密顿系统相空间拟周期轨的保存性,并展示了证明要点。
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