本文主要研究外区域上的一类半线性椭圆方程组解的存在性和带Neumann边界的Henon方程解的存在性、多解性以及解的渐近性质。 第一章中我们主要介绍半线性方程和方程组已有的研究成果，并对已有成果在研究过程中遇到的困难以及如何克服这些困难进行一个概述。 在第二章中，我们着重研究半线性椭圆方程组解的存在性问题。其中Ω是RN中的外区域，N≥3。我们首先证明方程组对应的能量泛函在适当的区间内满足（PS）c条件，然后在适当的条件下证明此方程组至有少三对非平凡解。本章的主要结果已经在Electronic Journal of Differential Equation第2008卷上发表。 在第三章中，我们研究带Neumann边界的Henon方程其中B是RN的单位球，q>p以及α>0，并记n为外法向量。我们首先研究方程（2）解的存在性，再研究当α充分大时基态解的性质以及非球对称解的多解性质。