本文主要探讨了点在不同基下的关系,β-动力系统和Cantor测度的点密度.我们计算了相关分形集的Hausdorff维数和点密度.本文分为六章.第一章介绍了分形几何及本文主要问题的相关背景.第二章为预备知识,其中包括Hausdorff维数的定义和一些性质,以及本文中相关问题的所需要的预备知识.接下来的三个章节,我们分别对上述三个方面的内容进行详细讨论.　　在第三章中,我们考虑了Furstenbergs猜想维数形式的问题.具体介绍Fursten-berg猜测的具体内容.我们知道Furstenbergs猜想对于几乎所有(Lebesgue测度意义下)的实数都成立,因为几乎所有的实数关于所有的整数都是正规的,因此,一个自然的问题是：除了正规数以外,我们是否可以找到一些实数使得它成立呢?本文中我们具体构造出了一类非正规数使得下列维数公式成立.具体地说,我们证明了满足(公式,略)的非正规数x∈[0,1)所构成的集合是一个Hausdorff满维集.　　在第四章中,我们考虑了任意点x∈(0,1]的β展式的性质,我们证明对于任意x1∈(0,1],x0∈[0,1]和任意区间(β0,β1)包含于(1,∞),使得(β0,β1)包含于(1,∞)中在Tβ变换下x1的轨道不以x0为聚点的β构成的集合是Hausdorff满维的.即我们所得的结论推广了维数的结果,完善了Schmeling在测度意义下的理论.　　在第五章中,我们在一定条件下,获得了对称Cantor集上关于Cantor测度的点态密度的公式.我们所得到的结论丰富了Feng的结果. 在最后的第六章中,我们总结了本文的主要结果,然后又针对每一个结果提出了一些可以进一步研究的问题.