用固定边界的初边值问题来研究生物入侵往往会出现很大的缺陷,且自由边界问题已经广泛地出现于自然科学及工程技术的各个领域.本文首先通过研究两类捕食-被捕食模型来介绍和发展自由边界问题的相对完整的理论和研究方法,然后将这些理论和研究方法用于模拟携带Wolbachia的蚊群在给定区域蔓延的情形,通过相应的模型解的分析,确定适当的释放策略,从而为实际部门的工作者提供理论支持.在第二章中,我们考虑了一维环境下的Leslie-Gower捕食-被捕食模型.研究了两物种在自由边界域内演化的渐近行为,得到了入侵成功和失败的充分条件.并且还推导出了这两个物种的入侵成功和失败的严格标准.最后,当入侵成功时,证明了入侵速度介于整条实线（无自由边界）上的捕食者-被捕食模型的最小波前解速度与原模型的一个椭圆问题所确定的界限之间.在第三章,我们研究了一维环境下具有自由边界的捕食者-被捕食系统.其中,捕食者v是入侵者,它最初存在于整个区域[0,L]的子区间[0,s₀]中,Leslie-Gower项用来度量由于猎物稀少而导致的捕食者种群的损失.被捕食者u（本地物种）最初分布在整个区域[0,L].本章的主要目的是了解捕食者入侵的成功与失败是如何受到初始数据v₀影响的.并且得到了一个入侵成功或者失败的二择一性质,最后给出了判断入侵成功与失败的判别准则.多年来,科学家们一直在寻找利用Wolbachia消灭传播人类疾病的蚊子的方法.Wolbachia会成为控制蚊媒传染病的决定性因素吗?为了从数学上解决这一问题,在第四章中,我们建立了具有自由边界的一维反应扩散方程.这里把蚊子种群分成两组:一种是未受感染的蚊子种群,它的初始区域为整个区域,另一种是感染了Wolbachia的蚊子,在初始时占据了一个有限的小区域并且它的入侵是由著名的Stefan自由边界条件决定的.对于由此产生的自由边界问题,我们建立了入侵成功与失败的准则.我们的研究结果为设计可行的蚊子释放策略提供了有益的见解,以使得所有的蚊子种群感染Wolbachia,从而最终根除登革热等蚊媒传染病.将携带有Wolbachia的蚊子释放到野生蚊子种群中,已成为非常有前景的控制蚊媒传染病的策略.为了研究风和栖息地大小对野生蚊子种群感染W olbachia的影响,在第五章中,我们在一维空间异质环境下建立了对流反应扩散方程.通过研究相关特征值问题,得到了Wolbachia在整个野生蚊子种群中完全建立的条件.我们的发现可能为设计实用的释放策略来控制蚊子种群提供一些有用的见解.第六章对全文进行了总结,并对今后的研究工作进行了展望.