作为人工智能的一个新的分支,计算机符号计算已经成为非线性研究的有效辅助工具。它以准确和高效的算法化方式在符号系统上进行推理运算,最终能够使研究问题机械化地解决。随着计算机科学技术和符号计算系统的迅速发展,基于计算机符号计算研究非线性模型的可积性质及其物理应用也随之成为非线性科学领域中的重要研究方向之一。本论文是基于计算机符号计算研究在若干物理领域中非线性模型的可积性质及其物理应用。所研究的非线性模型主要涉及物理学和工程技术中具有广泛应用的且具有求解复杂度较高的多耦合、高维和不可积等特点的方程。通过发展孤子理论中的求解方法,利用符号计算以算法化的形式构造具有上述特点的非线性模型的解析解和研究它们的可积性质。通过提出和设计所针对问题的合适算法,以具体的实例形式在符号计算系统上完成算法的实现。本文一方面注重算法的提出和实现,另一方面着重于分析和讨论这些具有特定物理意义的非线性模型所描述的非线性物理现象和机制。进一步,能够解析地研究在特定背景下非线性孤子的运动特性和规律以及与其他物质相互作用的动力学特征。本文的主要内容是基于作者攻读博士学位期间以第一作者的身份所发表或录用的12篇SCI国际英文期刊论文的核心部分撰写而成。本文研究受北京邮电大学“优秀博士创新基金”(CX200902)的资助。具体工作包括以下几个方面：(一)基于计算机符号计算将Ablowitz-Kaup-Newell-Segur(AKNS)系统推广成多分块矩阵形式。这样,在一定程度上扩展了AKNS的适用范围。不仅可以推导单个可积非线性模型的线性系统,而且还能够构建多耦合非线性模型的线性系统。从而,有助于研究多耦合非线性模型的可积性质和构造它们的多孤子解析解。文中以在非线性光纤光学和流体力学中的N耦合非线性Schrodinger模型和N耦合修正的Korteweg-de Vries模型为例,用分块矩阵的形式构建了两者的Lax对。(二)基于计算机符号计算提出构建多耦合可积非线性模型Darboux变换的迭代求解算法。由于耦合非线性模型中存在多个势函数,要使经Darboux变换以后依然保持原来位势的约化关系是在构建变换过程中遇到比较棘手的问题。目前,虽然还没有普适的方法来统一处理这一问题,但是可根据耦合非线性模型线性系统的特点和所属的对称空间,有些耦合模型的约化问题可以解决的很好。本文借助计算机符号计算技术,成功地将Darboux变换迭代求解算法应用于N耦合修正的Korteweg-de Vries模型和N耦合非线性Schrodinger模型。借助符号计算系统,通过执行算法,最终多耦合非线性模型的解析N孤子解可表示成类Vandermonde行列式形式,这种表达方式大大降低了运算的复杂度。(三)对于属于同一方程族的非线性模型,它们具有一系列重要而且共同的特征。于是,在研究非线性模型时,不再局限于单个模型,而把焦点集中在整个孤子方程族上面。文中基于计算机符号计算通过(2+1)维AKNS系统推导出(2+1)维非线性Schrodinger族模型,且将Darboux变换迭代求解算法应用于整个方程族上。以(2+1)维非线性Schrodinger模型为例,执行N次迭代Darboux变换算法得出N孤子解的类Vandermonde行列式表示。另外,讨论了线孤子与线孤子、抛物孤子与抛物孤子以及线孤子和抛物孤子之间的相互作用。(四)奇异流形方法是孤子理论中研究非线性模型可积性质的一个重要手段。文中基于计算机符号计算利用双奇异流形方法研究了(2+1)维Gardner非线性模型的可积性质,包括双线性形式、Backlund变换、Lax对和二元Darboux变换。基于推导出的一组Lax对,借助计算机符号计算,实现二元Darboux变换在(2+1)维Gardner非线性模型中应用的构造性求解算法。通过执行N次迭代求解算法得到了(2+1)维Gardner非线性模型N×N Grammian矩阵解。(五)铁磁材料自旋链在外加时磁场作用下Landau-Lifshitz型模型的符号计算研究。旋磁材料中的非线性波主要是研究电磁波与旋磁介质相互作用中出现的各种非线性传播特征、产生机制以及应用前景。铁磁材料中产生的孤子非线性现象在具有外加的时磁场的作用下的具有什么样的物理特点,以及它的运动规律有什么变化,特别是孤子的粒子性是否会发生改变,这些是关注的焦点。本文基于计算机符号计算通过把该模型线性化处理,设计出求多孤子解的纯代数的构造性Darboux算法,以符号计算直接得到的解析孤子解来分析孤子在外加时磁场下的这些物理特征。(六)本文将孤子理论中的Hirota双线性方法和计算机符号计算相结合,使双线性方法适合于求解复杂的多耦合非线性模型。文中研究了在非线性光纤光学中描述矢量光孤子传播的多耦合非线性Schrodinger模型。基于得到的非线性模型的多矢量孤子解,通过数学极限分析手段和分析一些重要的物理量来讨论矢量孤子间的相互作用行为。其主要包括矢量孤子在耦合模式之间的部分能量交换和完全能量交换。因此,利用矢量孤子的碰撞特性,在非线性光学中可以进一步实现光控光非线性逻辑门操作以及开发光纤耦合器和信息转移处理器件等物理器件。(七)基于计算机符号计算,双线性方法在高维和耦合不可积非线性模型中的应用。得到高维或耦合不可积非线性模型的解析孤子解是非线性模型求解的难点。本文吸取符号计算和双线性方法的特点,研究了源于重力水波的(2+1)维不可积的Boussinesq非线性模型和非线性光学中的(2+1)维耦合非线性Schrodinger模型。构造了两者不可积非线性模型的解析单孤子和双孤子解,研究了高维孤子丰富的碰撞机制。(八)非均匀光纤中超短孤子脉冲传输特性和相互作用的符号计算研究。本文借助计算机符号计算将孤子理论中的双线性求解方法适用于变系数非线性Schrodinger模型。用符号计算直接获得该变系数模型的解析孤子解,探讨超短孤子脉冲在非均匀光纤中的传输特性和相互作用行为。为研究实际非均匀光纤中或色散管理系统中孤子脉冲的稳定传输提供一定的理论依据。