拓扑半金属是一种新型的拓扑量子态,因其具有独特的无能隙电子激发和特殊的电磁场响应而成为近几年的热门课题。拓扑半金属的代表之一,Weyl半金属在费米面具有孤立的无能隙点,它的色散关系可以用高能物理中的Weyl方程来描写。这些无能隙点(Weyl点)导致了许多新奇的物理性现象,比如不连续的表面费米弧、负磁阻效应、手征反常和手征磁效应等,从而引起了人们极大的研究兴趣。本论文主要着重于两个方面,一是发展构建模型哈密顿量的理论算法并开发程序实现,二是利用这些新算法,结合第一性原理计算研究拓扑半金属新奇的物理性质。首先,我们详细地介绍了两种构建k·p模型的方法,即微扰论方法和不变量理论方法。我们用这两种方法详细地推导了闪锌矿结构下的Luttinger哈密顿量,为第三章理想Weyl半金属的研究提供了基础模型。我们还介绍了 Gresch提出的直接程序化求出k·p模型的方法。我们对这个方法做了改进,使得它适用于非正交基矢,从而能有一个更广泛的应用。受到微扰论和群论构建k·p模型的启发,我们发展了基于对称性原理构建简化版本紧束缚模型的新方法。其次,我们发现HgTe系列化合物,包括HgTe、HgSe和部分half-Heusler化合物,在施加轴向张力(或面内压力)的时候可以实现新型的理想Weyl半金属态。这种新型的拓扑半金属中的Weyl点精确地落在费米能级上,没有任何平庸的体态和它们纠缠混合在一起。我们为更深入的理论工作提供了一个简洁漂亮的有效理论模型。之后我们做了更进一步的研究,发现一类黄铜矿化合物(如CuTlSe2,AgTlTe2,AuTlTe2和ZnPbAs2)在不用施加任何应力下,就可以很自然地展现理想的Weyl半金属态。我们发现黄铜矿结构中的晶格畸变自发产生的有效的轴向张力是这四种化合物能够形成理想Weyl半金属态的关键原因。我们这两个工作为人们研究Weyl费米子新奇本征物理性质及其衍生特性提供了一类理想的平台。然后,我们研究了三维的非厄米的Nodal-line半金属。我们发现,非厄米项会破坏原始的结线圈为两个独特环(exceptional rings)。这样的能带结构可以用两个拓扑不变量来表征,即倒空间一维线圈的涡旋数和缠绕数。当这个线圈被独特环穿过时,两种拓扑数都会取半整数。我们还发现通常的体边对应在这个非厄米的Nodal-line半金属体系里被破坏,其中零能的平带区域不再是以体的独特环的投影作为边界。另一方面,大量的体本征态局域在表面,形成了所谓的非厄米趋肤效应。最后,基于k·p微扰论,我们提出了能带反转诱导马鞍形色散的理论。我们的这套理论广泛地适用于二维,三维的拓扑体系,包括拓扑半金属和拓扑绝缘体。我们计算了三种具体的材料作为例子,分别是二维拓扑绝缘体WS2,狄拉克半金属Na3Bi和拓扑绝缘体Bi2Te3。马鞍形色散形成的发散的态密度将增强电子的关联作用,导致电子结构的失稳,形成电荷密度波,超导等有序相。