约束矩阵方程问题是在满足一定约束条件的矩阵集合中求矩阵方程的解，不同的约束条件，不同类型的矩阵方程，能得到不同的约束矩阵方程问题。矩阵扩充问题是在某种约束条件下构造矩阵A，使得矩阵A的一个子矩阵为A0。1979年，H.Hochstad首次提出并讨论了Jacobi矩阵逆特征值问题，此后，矩阵扩充问题成为当今计算数学领域最热门的研究问题之一。 约束矩阵方程问题和矩阵扩充问题在结构设计、结构动力学、生物学、电学、分子光谱学、自动控制理论、振动理论、非线性规划、动态分析等许多领域都具有重要应用，故讨论以上问题有着实际应用背景。 本篇硕士论文研究了若干约束矩阵方程问题和矩阵扩充问题，完成的主要工作如下： 1.讨论了由主子阵Jk和缺损特征对(λ，X2)，(μ，Y2)，(v，Z2)构造五对角实对称矩阵Jn的一些问题，得到了相关结论，同时将结论应用在一类特殊的五对角实对称矩阵上，得到了算法和数值算例； 2.利用广义奇异值分解讨论了矩阵方程(ATXA，XA-YAE)=(E，0)在对称次反对称矩阵集合中的解、极小范数解和在双对称矩阵集合中的解、极小范数解及(半)正定解； 3.借助四元数的复表示方法，研究四元数矩阵方程组AX=B，XD=E的最小二乘问题和极小范数解的问题，并对主子阵约束下的方程组的解进行了讨论，得到了它们的显式表示。