反应扩散方程组被广泛地用于探讨物理、化学、生物学等领域的各种问题,研究的内容和方法是多种多样的,研究结果具有重要的理论和实际意义。反应扩散方程组的平衡解就是最基本的研究问题之一。考虑到反应扩散方程组的解的长时间性态与平衡解有紧密的联系,研究反应扩散方程组的平衡解就显得很有必要。本文考虑了几类有实际背景的反应扩散捕食模型的平衡态模式和Hopf分支。从生物的应用角度来看,Hopf分支的研究能够反映种群间的周期性变化。首先研究了一类推广了的Schnakenberg模型。考虑了自扩散系数对于模型的非常数正平衡解的存在性的影响。利用椭圆型方程组的最大值原理,给出了模型的正平衡解的先验估计,即正的上界和下界估计;用能量估计和隐函数定理得出非常数正平衡解的不存在性;用度理论,给出了模型的非常数正平衡解的存在性。结论表明对推广的Schnakenberg模型,自扩散可以导致平衡态模式。其次考察了一类带交错扩散的三种群捕食模型,主要是研究交错扩散项的引入对模型的非常数平衡解存在性的影响。利用椭圆型方程组的最大值原理及Harnack不等式给出模型的正平衡解的先验估计;利用度理论和分支理论分别给出依赖于交错扩散系数的非常数正平衡解的存在性和分叉现象。结论表明对此模型而言,只有交错扩散才可以导致平衡态模式。最后讨论了带Holling II型食饵捕获项的反应扩散捕食模型。对于反应扩散捕食模型的齐次Neumann边值问题,我们给出了常数平衡点的稳定性,特别是利用迭代技巧,给出了正常数平衡点的全局渐近稳定性;接着给出了模型的长时间行为;通过选取与捕获项有关的参数作为Hopf分支参数,给出了Hopf分支的存在性,利用中心流形定理和规范型理论,给出了分支方向和分支稳定性的计算公式,而后利用数值模拟来验证得到的结论;讨论了反应扩散方程组的非常数正平衡解的存在性。结论表明对此捕食模型而言,自扩散可以导致平衡态模式,且捕获项的引入可以引起种群的周期性振荡。对于反应扩散捕食模型的齐次Dilichlet边值问题,首先利用上下解方法给出了共存平衡解的存在性;利用度理论,给出了共存平衡解的存在性、渐近性、稳定性及其分支现象。对于时滞反应扩散捕食模型,采用上下解方法,得到了时滞反应扩散捕食模型的正常数平衡点的全局渐近稳定性;以时滞作为分支参数,通过分析特征方程,得到了泛函微分方程和反应扩散方程组存在Hopf分支的充分条件,以及Hopf分支的性质分析。