谱图理论是代数图论的重要分支，它主要研究图的谱性质和图的结构性质之间的关系，以期通过谱性质来刻画结构性质．谱图理论主要涉及邻接谱理论、Laplace谱理论和无符号Laplace谱理论.尽管图的邻接谱理论和Laplace谱理论一直是谱图理论中的研究热点，但近年来无符号Laplace谱理论同样引起了人们广泛的关注．利用图的谱，尤其是极端特征值（谱半径和最小特征值），来刻画一些特殊的图类，是国内外代数图论工作者关注的焦点．　　 本文主要讨论了若干图类的极端特征值．对于给定匹配数或悬挂点数的图，刻画其中最小特征值达到极小的图的结构；对于给定割边数的双圈图，刻画其中谱半径和无符号Laplace谱半径分别达到极大的图的结构.　　 本文的组织结构如下：第一章首先介绍了极端特征值的研究背景和意义，图的基本概念和记号，其次介绍有关最小特征值、谱半径和无符号Laplace谱半径的一些最基本的结果以及它们的研究进展，最后列出本文得到的几个主要结果．第二章首先刻画了匹配数为2这一特殊图类的极小图（最小特征值取到极小值），然后引用本课题组的工作给出了匹配数为k的图的极小图的完整刻画.第三章分别刻画了含n-1，n-2，n-3及k(1≤k≤n/2)个悬挂点的图的极小图．第四章首先给出有关谱半径和无符号Laplace谱半径的一些基本结论和重要引理，接着刻画了给定割边数的双圈图中谱半径和无符号Laplace谱半径分别达到极大的图的结构.