随机动力系统作为动力系统在随机情形下的一个推广。它在物理学、力学、生物学、海洋学、工程学和其它的科学领域有着广泛的应用。随机吸引子是刻画随机动力系统的渐近行为的重要工具之一。本文主要通过拉回随机吸引子、弱拉回均值随机吸引子、数值吸引子和平衡解,研究几类随机方程的动力学行为。我们首先建立了随机格点系统的拉回随机吸引子的渐近自治（或前向半收敛）成立的准则。作为应用,考虑了带随机粘度的非自治随机格点方程。值得注意的是,拉回随机吸引子的渐近自治问题的主要困难在于证明吸引子的可测性。由于吸收集是随机集的不可数并集,它的可测性是未知的。因此,吸引子的可测也是未知的。在这种情况下,我们引入两个不同的吸引域,一个是通常的所有缓增集构成的吸引域,另一个是所有前向缓增集构成的吸引域。然后,我们分别证明了在这两个吸引域中一个拉回随机吸引子和一个前向拉回吸引子的存在性和相等性。所以,我们得到前向拉回吸引子的可测性,其源于拉回随机吸引子的可测性。其次,我们研究了带随机粘度和非线性噪声的多随机sine-Gordon格点方程的均值动力学和不变测度。对于此系统的适定性,其主要困难在于如何处理噪声的局部Lipschitz连续扩散项。为了解决这个问题,我们使用一个全局Lipschitz连续的截断函数来逼近噪声的扩散项,从而可得系统的适定性。借助解算子,我们可以定义一个均值随机动力系统,并且证明此系统在Bochner空间中存在一个唯一的弱拉回均值随机吸引子。此外,我们还讨论了不变测度的存在性,其主要任务是证明解的概率分布的胎紧性（Tightness）。由于无界域上Sobolev嵌入的非紧性,我们运用一致尾部估计的思想证明了系统的解的尾部是一致小的,然后结合吸收估计,可证明多随机格点方程的不变测度的存在性。然后,我们考虑了随机或确定sine-Gordon格点方程的数值吸引子与逼近。我们使用对时间变量采用隐式Euler格式（IES）的方法来离散方程,从而证明具有小步长的时间离散的sine-Gordon格点方程的数值吸引子的存在性、唯一性和上半连续性。此外,当噪声强度趋近于零时,我们证明了从随机sine-Gordon格点方程的随机吸引子到全局吸引子的上半收敛性。并且,当状态空间的维数趋于无穷时,我们建立了三个（数值、随机和全局）吸引子的有限维逼近。但是,对于非自治（或随机）格点系统的数值吸引子,它仍然是一个开放性问题。最后,我们讨论了带无限时滞和非线性遗传噪声的随机三维拉格朗日平均的Navier-Stokes方程的随机动力学。使用Galerkin逼近的方法,我们证明了系统的适定性。运用Lax-Milgram和Schauder定理,我们证明了相应确定性方程的唯一平衡解的存在性。我们使用直接方法研究了带一般时滞项的系统的平衡解的局部稳定性,并将抽象结果应用于带两种无限时滞项的系统。在无界分布时滞的情况下,建立了平衡解的指数稳定性。我们还通过构建适当的Lyapunov泛函来研究无界变量时滞情况下平衡解的渐近稳定性。对于比例时滞的特殊情况,我们进一步证明了平衡解的多项式渐近稳定性。