Hecke特征值的整次数方幂之和

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设f(z)是全模群SL2(Z)的权为偶数k≥2的本原全纯模形式,这里我们用本原全纯模形式来表明f(z)是全体Hecke算子Tn的共同特征函数,记H*k为它们的集合。本原全纯模形式f(z)在无穷远尖点∞处有Fourier展式f(z)=∞∑n=1λf(n)n(k-1)/2 e2πinz((s)z>0).这里正规化了的λf(n)是Hecke算子Tn的特征值。对f∈H*k,定义S(l)(f;x):=∑n≤xλf(n)(l),其中(l)∈N且x≥1。  本文研究了S(l)(f;x)的渐近性质.Lau,Lü&Wu[28]证明了S(l)(f;x)=xP(l)(logx)+Of,ε(xθ(l)+ε)(3≤(l)≤8),其中P4(t),P6(t),P8(t)是次数为1,4,13的多项式,P3(t),P5(t),P7(t)恒等于0.并且θ3=7/10=0.7,θ5=13/43=0.93023…,θ7=176/179=0.98324…,θ4=151/175=0.86285…,θ6=175/181=0.96685…,θ8=2933/2957=0.99188….他们证明的关键在于L(s,symmf)的良好性质,这些卓越工作在Kim&Shahi-di的著作[11]中.本文作者深入学习Rankin-Selberg方法和对称幂L-函数的性质,利用G(l)(s)分解成一系列广义低次L-函数的乘积的表达式(见Lau,Lü& Wu[28]),应用不同于[28]的Riemannζ-函数的亚凸性界,得到更加精细的结果.对于e=4,6,8,作者证明如下定理:∑ n≤xλf(n)4=xP4(logx)+Of,ε(x0.86062…+ε),∑n≤xλf(n)6=xP6(log x)+Of,ε(x0.96613…+ε),∑n≤xλf(n)8=xP8(log x)+Of,ε(x0.99177…+ε)。  本研究分为四个部分:第一章系我们系统地介绍了问题的背景并给出了主要结果。第二章我们给出了Rankin-SelbergL-函数,m次对称幂L-函数和广义L-函数的定义和本文用到的预备知识。第三章我们介绍了相关引理,主要是把G(l)(s)分解成Riemannζ-函数和广义低次L-函数的乘积并介绍了它们的亚凸性界。第四章我们利用Perron公式和第三章的相关引理证明了最终结果。
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