现实生活中存在许多界面问题，如人体心脏的血液流动问题、不同材料之间的拼凑与焊接、Navier-Stokes动量方程的粘性边界拟合和圆柱绕流等实际的问题，引起大批学者的兴趣，先后提出多种有效处理界面问题的方法。如Peskin的浸入边界方法、Tikhonov的调和平均法、LeVeque和Li的浸入界面方法、Osher的虚拟流体方法等。　　本文主要关注由Y.C.Zhou等人提出的匹配的界面和边界方法（又称MIB，MatchedInterfaceandBoundaryMethod）。该方法在求解带有奇异源的不连续系数的椭圆型方程时需要通过选取适当的辅助线、虚拟点和跳跃条件对微分方程的离散，在界面处离散跳跃条件和离散微分方程是相互分离的，通过反复迭代处理低阶跳跃条件可以达到所需精度任意高阶的匹配的界面和边界格式。用有限差分格式离散界面处的微分方程时，由于界面的存在会导致有限差分格式近似微分方程原有精度的降低，而该方法的本质就是通过采用拉格朗日多项式插值的方法处理界面处的跳跃条件从而避免了这一现象。　　本文首先通过对一维和二维带有间断系数椭圆型方程界面问题的求解，并通过构造数值算例充分验证了匹配的界面和边界方法的有效性和可行性;其次通过该方法在Nemann边界条件下求解椭圆型方程也依然成立并与浸入界面方法进行了对比，由实验结果可知匹配的界面和边界方法是一种处理有关椭圆型方程界面问题的方法之一;再次运用该方法求解带有间断系数的Helmholtz方程，并能够得到很好的数值结果;最后由于界面的存在也破坏了该方法的紧致性从而降低了格式的精度，为了实现我们希望要得到的结果本文在最后采用了理查德森外推加速算法得以实现。