【摘 要】
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现实世界的生物种群之间存在各种各样的相互作用关系,其中捕食关系是最常见的关系之一,其对生物种群的生存和发展起着至关重要的作用.本文将利用线性稳定性分析、中心流形理论和规范型方法,研究几类扩散捕食-食饵系统的余维二Turing-Hopf分支、Turing-Turing分支和Bogdanov-Takens分支,以及由这些分支揭示的时空斑图,来帮助理解和解释生物种群的时空动态.本文的主要工作如下:（一）
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现实世界的生物种群之间存在各种各样的相互作用关系,其中捕食关系是最常见的关系之一,其对生物种群的生存和发展起着至关重要的作用.本文将利用线性稳定性分析、中心流形理论和规范型方法,研究几类扩散捕食-食饵系统的余维二Turing-Hopf分支、Turing-Turing分支和Bogdanov-Takens分支,以及由这些分支揭示的时空斑图,来帮助理解和解释生物种群的时空动态.本文的主要工作如下:（一）研究具Crowley-Martin功能反应的捕食-食饵系统和具捕食者种内竞争的捕食-食饵系统的Turing-Hopf分支问题,以讨论Turing-Hopf分支揭示的时空斑图.通过特征值分析,建立多种分支发生的条件,同时确定第一Turing分支曲线.应用规范型方法,得到这两个捕食-食饵系统在各自的Turing-Hopf奇点处的三阶截断规范型.根据规范型的动力学并结合中心流形理论,研究Ib型和II型Turing-Hopf分支揭示的时空斑图,发现稳定的空间齐次周期解与稳定的非常值稳态解共存的时空现象,以及一对稳定的空间非齐次周期解共存的双稳时空斑图.（二）研究Turing-Turing分支揭示的空间斑图.基于Faria等人提出的规范型方法,导出带离散时滞的偏泛函微分方程Turing-Turing分支的规范型,并给出三阶规范型系数的计算公式.这些公式由原方程的系统参数显式表达,同样也适用于计算偏微分方程Turing-Turing分支的三阶规范型.在一维空间区域和齐次Neumann边界条件时,将该规范型在不同的空间共振条件下进一步简化.为研究Turing-Turing分支揭示的空间斑图,根据规范型的动力学并结合中心流形理论,讨论具Crowley-Martin功能反应的捕食-食饵系统的空间动力学,证明了双稳空间叠加斑图、三稳空间斑图和四稳空间斑图的存在性.（三）利用规范型方法,对一类带离散时滞的偏泛函微分方程,建立BogdanovTakens分支三阶规范型及其系数的公式化结果.这些公式也可用于计算偏微分方程Bogdanov-Takens分支的三阶规范型,他们由原方程的系统参数显式表达.通过分析三阶截断规范型并结合中心流形理论,讨论具食饵非局部竞争的捕食-食饵系统在Bogdanov-Takens奇点附近的时空动力学,以研究Bogdanov-Takens分支揭示的时空斑图,发现一个稳定的空间非齐次周期解与一对稳定的非常值稳态解共存的三稳时空斑图.
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