用分数阶微分方程建立的数学模型具有自身的独特优点,这些优点是整数阶微分模型无可替代的。分数阶微分方程往往在信号处理、系统控制、物质反常扩散和热传导等领域乃至黏弹性流体力学、生物学、磁力学等众多学科有着广泛的应用。特别是具有记忆性、反常扩散现象和黏弹性现象的物理问题、化学问题和生物种群问题均可用分数阶微分方程建模。在这些大背景下,本文主要研究了时间分数阶反应-扩散方程和分数阶单摆模型的解及其动力学性质,主要研究内容分以下两个部分:第一部分,主要应用分离变量法与动力系统相图分析法相结合的新方式,研究时间分数阶反应-扩散方程的解及其动力学性质。以分离变量和齐次平衡原理为基础,结合平面动力系统理论,引入一种讨论分数阶非线性偏微分方程的解及其动力学性质的新方法。在一些特定参数条件下,通过沿轨道积分的方式求得由空间部分确定的微分方程的精确解,从而进一步获得整个时间分数阶反应-扩散模型的各种精确解。并针对部分具有代表性的解,研究其有界性、周期性以及解随时间发展的演化规律等。通过数值模拟得到部分解随时间和空间发展的演化图,再进一步对这些演化现象进行分析,最后得出科学的相关结论,从而揭示模型所蕴含的内在规律,并成功解释了相应的动力学现象。第二部分,应用Laplace变换和Mittag-Leffler函数,研究由Caputo型分数阶导数定义的两类分数阶线性单摆模型的精确解及其动力学性质。在某些给定初值条件下,获得了该模型的各种精确解,然后通过Maple软件绘制出解的坐标演化图,从图像中分析出分数阶自由振动单摆模型在摆线摩擦力和黏滞阻力影响下的振动情况。为了对比分数阶和整数阶两种模型的动力学现象和动力学性质,我们用动力系统相图分析法研究经典的整数阶非线性单摆模型的解及其动力学性质。在无法获得这个整数阶非线性经典模型的精确解的情况下,利用动力系统数值模拟的方法,展示了模型的解随时间发展的演化情况,从而分析出这个整数阶非线性单摆模型的振动情况。最后成功地揭示了模型所蕴含的内在规律并圆满地解释了相应的动力学现象。