各种微分方程和以微分方程为状态方程的最优控制问题有着广泛的应用背景,最近几十年,许多学者对其进行了大量的研究,其中许多工作致力于用谱方法和有限元方法解这些问题.本论文的第一个工作是研究一种复数值抛物方程,使用的方法是自适应有限元方法.然后,本文还研究了以常微分方程为状态方程的最优控制问题,使用的方法是拟谱方法和谱元法,文中为最优控制问题设计了自适应算法,这是本文的第二个工作.自适应有限元在处理精确解存在局部剧烈变化的问题时有明显好处.许多学者已经为解实数值的抛物方程推导了后验误差估计并发展了相应的自适应算法.本论文研究了用自适应算法解线性抛物方程,其系数,非齐次项和解可以是复数值函数.文中为自适应算法给出了相应的误差指示量.它们可以指导自适应算法调整空间网格和时间步长,捕捉到精确解在局部区域存在的剧烈变化.自适应算法的可靠性被证明.注意到拟谱方法通常使用相同次数的多项式去逼近最优状态和控制函数.当需要逼近的各个函数性质彼此明显不同时,不同的次数是更好的选择.本文提出一种解常微分方程最优控制问题的自适应拟谱方法.对最优状态函数和最优控制函数可以使用不同次数的多项式去逼近.不同的次数由逼近多项式的后验误差估计决定.配置点数由多项式次数的最大值决定.文中证明了离散问题的可行性和收敛性.设计这个自适应方法的目的是,既要节省计算时间又不使数值解精度受到损失.众所周知,对于解不光滑的问题,谱方法不是最好的选择.针对最优解有弱间断的最优控制问题,本文设计了一个自适应算法.最优控制问题的离散使用了拟谱方法和谱元法.时间区间被划分为若干子区间.文中使用分段多项式逼近最优控制问题的解.根据数值解提供的后验信息,该自适应算法剖分可能存在弱间断点的子区间产生新的子区间,在精确解可能较为光滑的子区间内增加逼近多项式的次数.文中证明了离散问题的可行性和收敛性.