在第一章，我们给出了一个关于局部符号指标定理的直接的随机证明，同时也介绍了关于流形上的布朗运动的一些知识。第一章所用的方法与第三章是不同的。在[24]中，徐佩用布朗桥方法证明了Atiyah-Singer指标定理。这个方法是简单的。在第一章中，我们用布朗桥方法给出符号指标定理的直接证明。众所周知，由Atiyah-Singer指标定理可以得到符号指标定理。在第一章中，我们不用Atiyah-Singer指标定理，而给出符号指标定理的直接证明。相当于说又提供了符号指标定理的一个证明。　　 在第二章中，给出关于Malliavin随机分析的一个引论，这部分知识是第三章证明方法的基础。　　 在第三章中，我们给出了一个关于Atiyah-Singer指标定理简单的的随机证明，这个方法用的是Watanabe建立的广义Wiener泛函及其渐进展开方法。Atiyah-Singer定理的证明是一个难点，关于它的证明已经有很多个，每个证明都有各自的特点。在这其中，Getzler[17]是比较简单初等的一个证明。通过指标定理的证明可以帮助更好地理解指标定理，所以给出指标定理的新的证明仍是有意义的。本文通过努力，给出一个在形式上比较清楚的随机方法的证明。在五十年代，六十年代，Atiyah，Singer，Bott，Hirzebruch等著名数学家建立了指标定理，这是一个在几何与分析中有趣的定理。后来，进一步的局部指标定理被一些作者(Atiyah，Patodi，Bott，Gilkey等)发现。局部指标定理的证明是复杂的，因为这需要来自分析，几何，代数的知识。关于指标定理的经典方法证明，可以参考这些文献Atiyah-Bott-Patodi[2]，Getlzer[16]，[17]，Berline-Getzler-Vergne[11]，Yu[47]，[48]，Roe[37]，Gilkey[14]，Ponge[37]等等。1984年，在Bismut[8]中，Bismut用随机方法证明了指标定理。这个方法有着重要意义，提供了许多有用的思想和方法。在此之后，又有一些使用随机方法的证明被给出。在[43]中，Watanabe用广义Wiener泛函证明了Gauss-Bonnet-Chern定理，符号指标定理，后来又有其他学者用这种方法证明了Riemann-Roch定理。在这一章中，我们用这一方法证明了Atiyah-Singer指标定理。　　 现在，指标定理有多种推广与发展，例如不动点公式，等变指标定理，带边流形的指标定理，非交换几何等，同时它在许多领域也有应用，例如，在几何大师，著名数学家丘成桐，刘克峰等关于模空间，椭圆亏格的重要工作中，就用到指标定理。　　 在第四章中，我们给出了加权Dirac算子的定义，并研究了这个算子的一些初步性质，指标公式，特征值估计等。　　 由于笔者在几何与随机分析等领域的基础是很薄弱的，所以论文中肯定还存在这样那样的错误，真诚欢迎聪明的读者朋友们给予指正。