几何积分方法无论在提高计算精度还是在保持系统的不变量性质等方面都比传统的积分算法有优势,同时,它还具有向后误差分析的性质,可用于研究数值方法的长期行为,以及进行数值方法的稳定性分析。本文主要研究了广义Hamilton系统及一般非线性动力学系统的几何积分方法。 首先,提出了求解一般动力学方程的李级数方法,并给出具体实施办法,它是泰勒展开方法的一个推广。另一方面将动力学微分方程用微分算子的形式表示之后,它的解算子可由它的无穷小生成元的预解式取Laplace逆变换得到,如此再次得到了李级数方法,对于自治系统它是一个李群方法。另外,提出了基于Laplace变换数值反演的非线性动力学方程的求解方法。 其次,基于李级数方法,提出了广义Hamilton系统及耗散广义Hamilton系统的李群积分法。广义Hamilton系统形式是动力学系统的一种恰当表述,它揭示了力学系统内蕴的某种对称性质,它的理论研究和实际应用在力学研究中具有十分重要的意义。本文在守恒系统解析解的理论基础上给出了构造广义Hamilton系统任意高阶显式保群积分格式的方法,同时讨论了算法的具体实施过程。对耗散广义Hamilton系统,就自治与非自治系统分别进行了讨论:对于自治系统,采用李级数方法并结合分裂合成的技巧直接进行求解;对于非自治系统,基于Magnus级数方法和Fer展开方法来构造其数值解。文中方法保持了原系统真解的典则性,因而也是稳定的。如果更关注系统的能量性质,如Hamilton函数性质,文中用离散梯度的方法给出了广义Hamilton系统及广义Hamilton控制系统的保持其Hamilton函数性质特征不变的数值解法。 同时,本文在伪Poisson流形上研究了广义Hamilton约束系统的求解问题。把广义Hamilton约束系统变形为无约束的广义Hamilton系统微分方程,提出了保持系统内在结构和约束不变性的李群积分方法,并就约束不变量的误差和稳定性等问题进行了理论分析和数值分析。另外通过引入拉格朗日乘子采用投影技术对广义Hamilton约束系统直接进行积分,进一步简化了积分过程。因为本文的讨论对完整与非完整约束不加区分,一样处理,所以也适用于非完整约束的情形。 然而,一般非线性动力学系统并不是都可以表示为(耗散)广义Hamilton系统的形式,即存在所谓广义Hamilton实现问题。为此,基于经典的Magnus和Fer展开式,在耗散广义Hamilton系统的保结构算法的基础上,主要从两个不同的角度,进一步深入地研究了一般非线性动力学系统的李群积分方法:一个是在算