变分不等式是非线性分析和优化理论的重要组成部分,它广泛应用于经济学、物理学、最优化控制、运筹学、交通运输等方面.由于变分不等式没有解析解,一个重要问题是如何构造有效的迭代算法求出变分不等式的近似解.几十年以来,多种变分不等式算法被提出.由于投影计算不需要函数的可导性,投影算法成为近些年来研究变分不等式算法中最重要的一种方法.由于变分不等式经典投影算法的步长与利普希茨常数有关,这些算法的实现需要知道映射F的利普希茨常数.众所周知,映射的利普希茨常数较难估计,即使能估计出利普希茨常数,也由于估计的利普希茨常数往往较大,导致投影算法的步长取值较小,从而导致收敛较慢.通常的做法是用类似于Armijo搜索的自适应方法得到步长,但是由于Armijo搜索要多次计算投影和映射在不同点的值,导致算法效率较低.本文在现有变分不等式的理论和算法基础上,设计了几种步长的计算方法,克服了变分不等式投影算法中步长计算需要Armijo搜索的问题.主要的工作如下:1.对单调变分不等式投影梯度算法修正.(1)对于Tseng的梯度投影算法,结合压缩算子和黏度方法,直接给出梯度投影算法步长,修正后的算法具有简洁的形式且不需要知道映射的利普希茨常数.在映射单调条件下,证明了修正的算法强收敛到变分不等式的一个解.数值实验表明所提出的算法的有效性.(2)参考Malitsky的梯度算法,提出了一种新的投影梯度算法.所提出的投影梯度方法每个迭代步只需计算一个投影和映射F在一点的函数值,且步长的选择不依赖于利普希茨常数,算法的结构极其简洁.在映射单调的条件下,证明了算法弱收敛到变分不等式的一个解,并考虑当F是强单调映射时,所给出的算法具有R线性收敛率.数值结果表明,提出的算法非常有效.2.对次梯度外梯度投影算法的类Armijo步长选取方法修正,给出了新的步长.(1)对经典的次梯度外梯度算法修正,证明了修正的算法弱收敛于变分不等式的解集.同时结合Halpern方法,使所修正的算法能强收敛于变分不等式的解集.数值结果表明,所给出的步长远优于类Armijo算法的步长.(2)对Popov型次梯度外梯度方法修正,构造出一种新的步长,成功地解决了Malitsky提出这种方法时所提出的公开问题,证明了所提出的算法弱收敛到变分不等式的解集中,并且证明了当映射F为强单调时,所给出的算法具有R线性收敛率,而且把所提出的算法推广到Bregman投影中.(3)把次梯度外梯度方法推广到解伪单调平衡问题中和不动点问题中,结合Halpern方法,证明了所给出的方法强收敛到平衡问题和不动点问题的解集中.以Nash-Cournot平衡问题为例验证了所提出算法的有效性.3.结合惯性方法对伪单调变分不等式投影算法修正,并考虑拟单调和非单调变分不等式的投影算法.(1)对于Tseng的外梯度投影算法,结合惯性方法对其进一步修正,直接给出算法的步长,提出两种惯性投影算法.在映射伪单调的条件下,分别证明了两种算法弱收敛性和强收敛性.(2)把Malitsky所提出的黄金分割梯度算法修正,给出了计算极其简洁的变分不等式与平衡问题的算法.在映射或双边函数为伪单调的条件下,证明了所给出的算法弱收敛到解集中.数值实验表明算法非常有效.(3)给出了拟单调和非单调变分不等式的投影梯度算法,在适当的条件下,证明了所提出的算法具有弱收敛性.数值实验验证了算法的有效性.利用投影等技巧进一步对上述算法修正,并证明了所修正的算法具有强收敛性.