求解非线性矩阵方程的问题主要是通过分析所给方程参数的性质来得到方程的解。由于Hermite正定解在实际中应用较多,所以我们只讨论此类解的情况。在现实生活中,方程X-A*XqA=I的来源相当广泛,包括控制理论,动态规划,统计和椭圆型偏微分方程的差分方法求解等多个领域。关于此类方程的求解通常涉及到三个问题：(1)可解性问题,即方程有解的充分和必要条件；(2)数值求解问题,即有效的数值方法；(3)解的扰动分析。　　首先,本文讨论了方程　　X-A*XqA=I (1)　　在q>0时的可解性,主要结论如下：　　定理1 若A为非奇异矩阵,方程(1)有解的充要条件是存在酉矩阵P,Q和对角矩阵Γ>I,∑>0,使得　　A=P*Γ-q/2Q∑P　　其中Γ-∑2=I。此时X=P*ΓP是方程(1)的解。　　定理2 A为非奇异矩阵,当q>1时,若方程(1)有解为X,则　　ρ(A)≤((q-1)q-1/qq)1/2.　　定理3 若A为非奇异的正规矩阵,当q>1时,方程(1)有解的充要条件是　　ρ(A)≤((q-1)q-1/qq)1/2.　　同时,本文还在方程有解为X时,由如下定理给出了解的一些性质。