Helmholtz方程常用来描述波传播和散射问题,在声学、光学、电磁学以及地震学等科学技术领域有着广泛应用.因此,研究其高性能数值解法具有重要的理论意义和应用价值.对于高波数问题,数值求解Helmholtz方程时,计算精度会随着波数的增加而降低.同时,波数增大时,必须充分加细离散区间才能获得较好的数值解.此时Helmholtz方程离散得到的是一个不定且高度病态的大规模线性系统.直接法由于内存需求难以求解大规模的线性系统.因此,本文针对三维Helmholtz方程主要解决以下两个问题:1构造高精度差分格式;2建立高效求解算法.全文共分为五章.第一章为绪论,简要介绍Helmholtz方程的物理背景,回顾目前已有的数值求解方法,并简述本文的主要构造思想及结构框架.第二章提出三维Helmholtz方程的优化紧致差分法.首先,建立常波数情况下Helmholtz方程的紧致差分格式.同时,给出该格式的收敛性分析,证明其为四阶格式.其次,给出数值波数与真实波数之间的误差分析.基于极小化数值频散的思想,提出了差分格式优化系数的加细选取策略.最后,建立变波数Helmholtz方程的优化紧致差分格式.第三章为求解离散的线性系统,提出了预条件Bi-CGSTAB算法.首先,采用复移位的拉普拉斯算子对Helmholtz方程进行预处理,并对得到的预条件线性系统进行谱分析.然后,从复平面分式线性映射的角度出发,给出预条件系统的谱被右半平面的某个圆包围的一些理论结果.最后,基于三维全粗化的多重网格,提出预条件Bi-CGSTAB算法.第四章给出常波数和变波数情况下,不同边界条件的数值试验.并用多重网格预条件Bi-CGSTAB算法求解Helmholtz方程离散得到的线性系统.试验结果表明本文所提格式提高了数值精度,有效抑制了数值频散.同时,结果验证了本文所提迭代法的稳定性和有效性.第五章为本文的结论,以及今后的工作展望.