数学优化是应用数学的一个重要分支,为诸多科学和应用问题提供了研究与建模的统一框架。由于凸性的良好性质,凸优化已经被众多学者广泛研究与应用;然而,对于经济与管理科学等领域中的实际问题来说,凸函数刻画的限制过强,而广义(拟)凸函数能更精准地描述这些实际问题。在经济学、工程、计算机视觉、管理科学和各种应用科学等领域中都可以找到拟凸优化问题的应用。次梯度算法是解决约束拟凸优化问题的一种常用方法,但算法的收敛性理论,尤其是收敛速度理论,还存在大量的研究空白。本文将研究约束拟凸优化问题及拟凸可行性问题,目的是得到相应次梯度算法的全局收敛性及收敛速度理论(及迭代复杂度),从而为算法的应用提供可靠的理论基础和保障;同时,了解这些算法的性能及效率能更好地帮助我们理解它们在各应用中的表现,进而可以分析需要改进和扩展的研究趋势。以下就两方面对本文工作作一概述:一、对于约束拟凸优化问题,我们将在统一框架下研究各种次梯度算法的收敛复杂度及收敛速度。首先,我们考虑满足一般(非精确)基本不等式的框架,研究其使用常数步长或动态步长准则时的全局收敛性定理和迭代复杂度。此外,假设噪声有界,在H?lderian阶弱锐极小点(weak sharp minima)条件下,我们将建立序列的线性(动态步长)或次线性(常数步长)收敛速度。最后,在拟凸性质与H?lder条件下,我们应用统一框架下的收敛性结论,建立约束拟凸优化问题的三种不同次梯度算法的迭代复杂度及收敛速度定理,包括标准次梯度算法、非精确次梯度算法以及条件次梯度算法。二、对于拟凸可行性问题,我们将提出相应的次梯度算法,并研究算法的全局收敛性和收敛速度理论。首先,我们将提出采用最违反约束(most violated constraint)或近乎循环(almost cyclic)控制准则的次梯度算法,并在H?lder条件假设下构建算法的基本不等式,同时研究算法的全局收敛性。此外,我们将引入重要的H?lderian阶误差界条件,且在此假设下建立算法的线性(或次线性)收敛速度。最后,将所研究的算法与收敛性理论扩展到拟凸多集合分离可行性问题。值得注意的是,基本不等式在研究过程中起着至关重要的作用。并且据我们所知,本文关于约束拟凸优化及拟凸可行性问题的次梯度算法的收敛速度研究是全新的,它将为算法提供可靠的理论保证,具有十分重要的科学意义。