算子理论是泛函分析的重要组成部分，算子不等式理论是其中的一个重要分支，一些算子不等式在微分方程、最优化理论、统计学等众多数学分支中有着广泛的应用。1934年，Lowner提出了著名的以后称之为Lowner-Heinz不等式的算子不等式，它是包括Furuta不等式在内的算子不等式理论的研究基础。1987年日本数学家Furuta提出了著名的Furuta不等式，以后Furuta不等式成为算子不等式理论研究中的一个热点课题。　　 Hilbert空间上自伴算子的Chaotic序是比普通序更弱的序，因此关于Chaotic序下算子不等式的结论也比普通序下算子不等式的结论更弱些。本文进一步讨论Chaotic序的特征，并给出Chaotic序下Furuta不等式的完全形。算子函数的单调性也是算子不等式理论研究中的一个重要课题，本文讨论了在严格Chaotic序下关于多个算子的算子函数单调性。本文还给出了在比C≥B≥A≥O更弱的序(A1/2B2A1/2)P/3≤AP，(A1/2C2A1/2)P/3≥AP下Furuta不等式的一个推广式。矩阵不等式在实际应用中起着重要作用，其中Wielandt不等式由于其在统计理论的线性模型研究中的应用而受到广泛关注，本文将关于矩阵的Wielandt不等式推广到无限维可分Hilbert空间上的有界线性算子上，并给出在更弱的条件下的Wielandt不等式的推广形式。