非线性科学已成为当今科学研究的一个热点，其中迭代动力系统扮演着十分重要的角色。对迭代动力系统的研究涉及线段上的自映射、迭代根与迭代函数方程、迭代泛函微分方程、迭代根与嵌入流等问题。 动力系统就是要研究一个决定性系统的状态变量随时间变化的规律。根据系统变化的规律可分为由微分方程描述的连续动力系统和由映射迭代揭示的离散动力系统。许多物理、力学、生物学以及天文学问题的数学模型都是由连续的和离散的迭代过程描述的。动力系统的许多问题都可以化为迭代函数方程或迭代泛函微分方程。例如，在描述倍周期分岔普适性中的费根鲍姆(Feigenbaum)方程g(x)=-g(g(-x/a))是一个迭代函数方程，微分方程中的不变流形或不变曲线可通过解迭代函数方程得到，Hamilton系统中的不变环面也与迭代函数方程有关。再例如，描述经典电动力学的二体问题、一些人口模型、日用品价格波动模型以及血细胞生产模型都涉及到迭代泛函微分方程。本文将研究几种类型的迭代函数方程和迭代泛函微分方程的光滑解和解析解的存在性、唯一性和稳定性。 本文的第一章介绍迭代与动力系统、迭代函数方程和迭代泛函微分方程的有关概念，并综述近年来关于迭代根、线性型迭代函数方程、非线性型迭代函数方程、平面映射的解析不变曲线以及迭代泛函微分方程的研究成果。 多项式型迭代函数方程连续解和可微解的存在性、唯一性和稳定性已有许多结果。但在研究高阶光滑解的存在性、唯一性和稳定性时，由于函数的高次第ii页摘要迭代的高阶导数的表达涉及复杂的计算而遇到了困难.本文的第二章首先利用不动点定理给出了变系数多项式型迭代函数方程高阶光滑解的存在性、唯一性和稳定性条件·所得结果回答了张景中、杨路、张伟年和J.A.Baker在文!32}和【54」中提出的公开问题.同时也研究了变系数多项式型迭代函数方程解析解的存在性，其结果改进和推广了作者本人以前的工作.平面保积映射的不变曲线在离散动力系统的周期稳定性理论中扮演着重要的角色，研究平面映射的不变曲线的存在性具有重要的意义.本章讨论了两类平面映射的解析不变曲线的存在性问题.我们的方法是将平面映射不变曲线的存在性化为等价的迭代函数方程解的存在性，然后利用Schr6der变换把迭代函数方程化为不含未知函数迭代的非线性函数方程，再利用优级数方法得到解析解的存在性.进而还利用Schr6der变换、Abel变换以及幂级数与Dirichlet级数理论研究一类具有相当广泛性的非线性迭代函数方程解析解的存在性和唯一性问题.以前在这方面的工作要求未知函数在其不动点处的线性化特征值a不在单位圆周上或在单位圆周上但满足Diophantine条件.在本章我们突破了Diophantine条件的限制，在a是单位根的情形以及已知函数有正则奇点的情形，给出了解析解结果. 迭代泛函微分方程与常微分方程有很大的不同.由于未知函数迭代的出现，常微分方程中经典的存在性定理不能使用.迭代微分方程是否有类似于常微分方程的存在性、唯一性和连续依赖性定理是一个需要回答的问题.本文的第三章首先利用不动点定理得到了一类迭代泛函微分方程高阶光滑解的存在性、唯一性和关于已知函数的连续依赖性定理，得到了与常微分方程类似的结论.其次研究了几类一阶和二阶迭代微分方程解析解的存在性和解的构造.关于迭代微分方程解析解的已有结果都是利用优级数和Banach不动点定理得到的，基本结果大都是关于存在性，没有给出解的显式结构.作者以前的工作可通过递推序列给出解析的显式解，但由于技术的原因，在方法上要求其解在不动点处的特征值不在单位圆周上或在单位圆周上但满足Diophantine条件.本章要解决的解析解问题也涉及解在不动点处特征值的分布.当特征值处于单位圆周上时收敛性是很复杂的，我们不仅在Di叩hantine条件下(特征值“远离’，单位第111页根)证明了形式解的收敛性，而且在非Di叩hantine条件下(收敛性等同于著名的“小除数间题”)也取得了一些进展. 在第四章我们讨论了一类具比例时滞的泛函微分方程解析解的存在性，并给出了一个渐近性质.