金融数学是最近发展起来的新型学科，是金融学与数学的交叉学科。金融数学主要运用现代数学的理论和方法对金融的理论和实践进行定性和定量的分析研究。在金融市场中风险无处不在：资产风险、利率风险、货币风险、信用风险、商品风险等。金融衍生工具是一种风险管理的工具，它的价格依赖于其它更基本的原生资产的价格变化。 期权是最重要的金融衍生工具之一。自1973年在美国首次进行场内交易以来，期权市场发展十分迅猛。期权是赋予持有者在将来某一确定时间以某一确定价格购买或出售标的资产的权利。期权理论的核心是期权定价问题。对于欧式期权，Black和Scholes早已给出解析形式的定价公式，然而对于美式期权的价格并不存在这样的解析公式，也无法求得精确解。因此研究各种计算美式期权价格的数值方法有重要的实际意义。美式期权定价问题的数学模型一般可归结为自由边值问题或相应的线性互补偏微分方程。尽管人们早已提出可用偏微分方程数值方法来近似求解此类问题，但有关数值方法的理论分析还不够完善。 本文研究了美式债券期权定价问题的差分方法，将美式债券期权满足的线性互补偏微分方程边值问题转化为等价的变分不等方程。建立隐式差分逼近格式和Crank-Nicolson差分逼近格式，借助变分不等方程的理论知识，同时采用能量法进行了差分解的稳定性和收敛性的理论分析，并给出误差估计。其中Crank-Nicolson差分格式计算的精度较高。最后数值计算表明本文算法是一个高效、收敛的算法。