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具有非负特征形式微分方程的研究是偏微分方程理论的重要课题，与Hmander平方和算子相关的二阶退化椭圆方程是其中最为重要的类型之一。由于该算子具有与经典Laplace算子类似的次椭圆性质，人们习惯上把由向量场构成的二阶线性及非线性算子通称为次椭圆算子，相应的方程称为次椭圆方程。到目前为止，对线性次椭圆方程的研究已经取得了大量的成果，而关于非线性次椭圆方程的结论还不多见。
本文以极大值原理和解的L<.p>估计为主线，涉及到三类最具有代表性并且也是密切相关的向量场，研究了与之相关的非线性次椭圆方程。全文组织如下：
第一章介绍了次椭圆方程的研究意义及现状，并给出全文将要用到的基础知识和本文的主要研究内容。
第二章研究与Hrmander向量场相关的非线性次椭圆方程。首先改进经典的Moser迭代方法，证明了非齐次次椭圆p-Laplace方程的极大值原理和齐次Harnack不等式，并利用log|log|方法给出了不等式右端指数m的最佳上界估计。其次，利用Carnot-Carathéodor(C-C)空间上的Sobolev不等式证明了一个Fefferman-Phong型引理，并用比较统一的方法证明了三类非线性次椭圆抛物方程解的不存在性判定定理。
第三章研究可极化Carnot群上的非线性次椭圆方程。首先引入可极化Carnot群的概念，给出了可极化Carnot，群上齐次模的若干性质，然后构造了一类非散度型次椭圆方程及其非平凡解，由此证明此类方程Dirichlet问题的解在函数空间L(Ω)中不唯一，进而证明相应的Alexandrov-Bakelman-Pucci(A-B-P)型估计不成立。其次，注意到Heisenberg群上C-C距离满足短时距方程的性质，建立了一类新的带余项的Hardy型不等式。进一步对区域作某种凸性假设后，得到了与Euclid空间中形式非常接近的Hardy型不等式。在此基础上，研究了Heisenberg群上具有齐次边界条件的次椭圆p-Laplace方程Dirichlet问题解的边界行为，西北工业大学博士学位论文几类向量场上非线性次椭圆方程的研究得到了解及其次椭圆梯度和Hardy位势的边界L
估计。 第四章研究与广义Baouendi-Grushin(B-G)向量场相关的非线性次椭圆方程。首先利用该向量场及其诱导的拟度量关于伸缩变换的拟齐性质，证明了与可极化Carnot群上非散度型方程相应的结果。其次，应用D’Ambrosio证明的：Hardy型不等式，给出了与广义B-G向量场相关的次椭圆p-Laplace方程的解及其广义梯度和Hardy位势在原点附近的增长估计，所得结果表明解在原点附近有限阶趋于零。