椭圆型方程是偏微分方程的一个重要分支.椭圆型方程可以广泛应用于弹性力学、流体力学、电磁学、几何学和变分法中.文献[1]就是一本系统地介绍二阶椭圆型偏微分方程基本理论和基本方法的经典著作.由于篇幅所限,部分结果未给出证明,给读者的理解带来了一定的困难.所以有必要对该书进行补充.本文是一篇研究习作.本文的目的在于讨论调和函数与Poisson方程解的先验估计.该文章分为两个部分.第一部分作者介绍了调和函数的等价定义,收敛性,内部估计和近边估计.第二部分作者讨论了Poisson方程解的存在唯一性,以及其二阶导数的内部估计和近边估计.首先,作者研读文献[1]遇到的第一个问题是：在高维欧式空间中的区域里,调和函数是否等价于对于该区域中的任意球均满足平均值定理的函数.由复变函数的知识我们知道,在二维欧式空间中该结论是正确的.那么在高维中是否仍有该结论,是一个值得深入研究的问题.作者由在球中存在Green函数的第一形式证明了在高维中该结论是正确的.其次文献[1]推论(3.2)中的等式未给出证明.但是作者发现该式就是高维空间中的牛顿-莱布尼茨公式,且证明并不显然.作者在此利用散度定理给出证明.与此同时,作者发现文献[1]缺省了调和函数的近边估计,而且后边的Poisson方程解的近边估计也利用了调和函数的近边估计.于是作者对此进行了相应的补充并给出证明.证明中最关键的想法是利用Schwarz反射原理对调和函数进行奇延拓,将近边估计转换为内部估计.在关于Poisson方程解的存在唯一性的证明中,文献[1]没有证明第四节中引理(1)中w∈C1(Rn).作者认为证明并不显然.作者是利用含参变量积分的相关命题给出的证明.类似的,文献[1]缺失了对第四节引理(2)中u是良定义的证明.作者也认为这个证明不显然.作者是利用r函数的各阶导数的估计来证明u有定义.最后,文献[1]省略了第四节定理(2)和定理(6)的证明.同时,文献[1]只是简略地证明了第四节定理(3),省略了证明的关键步骤,不便于读者理解.作者均对它们进行了详细地证明.