本文研究了一类二阶非自治线性时滞微分方程正解的存在性和两类生态模型解的渐近性。主要包含了模型正平衡点的稳定性,极限环的存在与唯一性以及Hopf分支的存在性等内容。通过对种群动力系统解性态的研究,可以指导人类以更科学的方式认识自然,利用资源,改善生态环境,对于保护生态系统及生物的可持续性发展有着深刻的现实意义。 在生态模型研究中,特征值方法被广泛应用于研究解的存在性、稳定性、渐近性等问题,其中正解的存在性与解的振动性有着密切的关系,关于常系数线性时滞微分方程解的振动性已有大量的研究结果,而非自治方程的研究则相对较少。本文第二章将常系数微分差分方程的特征方程加以推广,给出了一类二阶线性非自治时滞微分方程的广义特征方程,利用泛函分析理论和不动点原理,分别得到了二阶线性非自治时滞微分方程正解存在的充要条件以及广义特征方程的根与时滞微分方程正解之间的关系。所得结论包含了线性自治情况下特征方程的结果,为研究二阶非自治方程正解的存在性及振动性提供了一种较好的方法,为讨论系统解的渐近性提供了一种新的途径。 在自然界中,生物种群的密度变化是极其复杂的,在实际的生态系统中,时滞通常对密度制约效应都会产生一定影响,也就是说,在某时刻种群的增长率不仅与该时刻的种群密度有关,而且与在此之前的某一时刻以及过去所有时刻的种群密度都有关,基于以上原因,为了使模型更符合其生态背景,更加切合实际,本文第三章建立了既有连续时滞又有离散时滞的单种群模型。首先,利用特征值理论得到了模型无条件稳定的充分条件,从而说明时滞是无害时滞;其次,以时滞τ为参数,应用Hopf分支定理给出了该模型Hopf分支的存在性条件及分支值处模型平衡态的稳定的充分条件。 在建立生态模型时,简单的线性功能性反应函数并不具有一般性,不能完全描述种群之间复杂的相互关系,因此如何添加合理的功能性反应函数受到了人们广泛关注,其中带有指数干扰型功能性反应函数考虑了干扰因素的影响,因而更具有实际意义。本文第四章研究了具有指数干扰型的功能性反应函数的食饵—捕食者两种群模型,讨论了该系统平衡点的稳定性,给出系统无环以及在平衡点外围存在唯一稳定极限环的充分条件,并且扩大了参数的取值范围。