【摘 要】
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图上的随机游走和电阻距离是图论与组合网络理论中的重要研究内容.在简单连通图上的随机游走即有限马尔可夫链中,平均首达时间是其中的重要参数之一.从图上一个顶点首次到达另外一个顶点所需要时间长度的均值称为这两个顶点之间的平均首达时间.将图G中的每条边替换成单位电阻,得到的对应电网络中任意两个节点x,y之间的有效电阻称为图G中这两个顶点之间的电阻距离.图中任意两个顶点之间的最大电阻距离称为图的电阻直径.本
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图上的随机游走和电阻距离是图论与组合网络理论中的重要研究内容.在简单连通图上的随机游走即有限马尔可夫链中,平均首达时间是其中的重要参数之一.从图上一个顶点首次到达另外一个顶点所需要时间长度的均值称为这两个顶点之间的平均首达时间.将图G中的每条边替换成单位电阻,得到的对应电网络中任意两个节点x,y之间的有效电阻称为图G中这两个顶点之间的电阻距离.图中任意两个顶点之间的最大电阻距离称为图的电阻直径.本文主要研究强正则图与完全图字典积的平均首达时间及其应用、θ型双圈图与其线图的电阻直径大小关系,具体章节组织如下:第一章,我们首先引入研究方向的背景、意义与国内外成果,然后概述本论文研究内容.第二章,我们给出图论、有限马尔可夫链、电网络中的一些相关概念与引理.第三章,我们推导出强正则图与完全图字典积中任意两个顶点之间的平均首达时间及其他图不变量.借助字典积的邻接矩阵特征值与两原图特征值之间的关系,结合强正则图与完全图字典积对应的平稳分布向量,根据多项式方法给出强正则图与完全图字典积的平均首达时间表达式.利用两者字典积图的高度对称性,得到该字典积图的Kemeny常数、度积基尔霍夫指数与任意两个顶点之间的电阻距离.第四章,我们得出θ型双圈图的线图电阻直径不超过θ型双圈图的电阻直径减四分之一.引入等价网络定义、消去原理、网星变换、三角星变换来使得电网络结构简化,再通过瑞利单调定理、串并联定理来研究θ双圈图及其线图的电阻距离.进一步将θ型双圈图及其线图进行比较,得到两者大小关系.最后,我们对本文的研究结果进行总结,并对未来一些可能研究的问题进行展望.
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