【摘 要】
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Riccati方程是Riccati于1710s研究曲率时引入的微分方程,自此一直是广受数学家关注的重要问题之一,其早期的研究推动了微分方程进入定性理论研究的新阶段.Kalman在1950s研究LQ控制问题时引入Riccati方程,获得了LQ控制问题的最优反馈控制.不仅如此,Riccati方程在滤波理论、动力系统、量子力学等领域均有重要应用.随着控制论的发展,时间不一致控制问题已成为数学与金融的前沿
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Riccati方程是Riccati于1710s研究曲率时引入的微分方程,自此一直是广受数学家关注的重要问题之一,其早期的研究推动了微分方程进入定性理论研究的新阶段.Kalman在1950s研究LQ控制问题时引入Riccati方程,获得了LQ控制问题的最优反馈控制.不仅如此,Riccati方程在滤波理论、动力系统、量子力学等领域均有重要应用.随着控制论的发展,时间不一致控制问题已成为数学与金融的前沿交叉课题,但时间不一致控制问题至今仍处于探索阶段.为了解决时间不一致LQ控制问题,在分析时间一致LQ控制问题与Riccati方程的本质联系的基础上,我们提出了一类不定均衡Riccati方程（?）这里涉及的矩阵具有相应的尺度以至于符合矩阵的运算规律.上述方程的不定主要是因M的不定引起的,并且HP+M不一定经典可逆,其逆是广义逆.其次,该方程的积分算子中含有未知函数,并且是指数函数.这些必然导致先验估计难以获得.我们主要讨论上述不定Riccati微分方程的三种特殊情形:（1）不含积分项;（2）H=0;（3）H可逆.对情形（1）,我们讨论不定Riccati微分方程对称半正定连续解的存在唯一性,其结论是已有结论的推广.对情形（2）,这是一个新的均衡Riccati微分方程,我们获得均衡Riccati方程有唯一对称半正定连续解,进而构造一个线性反馈控制并证明它恰好是一类非指数贴现的时间不一致LQ控制问题的均衡控制.这是时间不一致控制问题的新结果.对情形（3）,在适当条件下,我们获得了不定均衡Riccati方程有对称连续解.这些结果无疑对研究时间不一致LQ控制问题具有重要意义,也为深入研究复杂动力系统的动力学行为奠定了 一定的基础.
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