自从R.Hamilton在1982年发表第一篇关于Ricci流的文章[54]以来,这种方法已经得到广泛流传和迅速发展。最近,G.Perelman取得重大进展,他沿着R.Hamilton提供的纲领,运用Ricci流的方法来证明一百年前提出来的Poincaré猜想,以及后来由W.Thurston提出的更广泛的几何化猜想。参见G.Perelman的三篇文章[82,83,84],以及后来很多重要的对这些文章的补充工作[33,37,69,79,94]。 G.Perelman引进了几种泛函来研究Ricci流：λ和μ泛函以及约化体积V。他分别运用后两种泛函证明了Ricci流的局部不塌缩性质,接着对三维Ricci流的blow-up模型进行了分类,并且得到了大曲率点附近存在“典型邻域”结构,这些保证了在奇异点操作手术成为可能.我们相信G.Perelman的泛函对高维Ricci流的研究也将起到重要作用,在本文中我们尝试对λ和μ泛函进行了解。 在第二章,我们首先运用G.Perelman的μ泛函单调公式来刻画有限时间产生的紧blow-up空间模型： 定理 A[107].设g(t),t∈[0,T),是一个闭流形M上Ricci流方程的解,奇异时间T<∞。设tk→T为一串时间,pk∈M为一列点,满足曲率Qk=｜Rm｜(pk,tk)→∞。如果Ricci流的解序列(M,Qkg(Qk-1t+tk))在C∞意义下收敛到一个Ricci流的解(M,g∞(t)),那么g∞(t)-定是个收缩Ricci solition。 这里,Ricci soliton是指一个满足方程Ric+Hess(f)=εg的黎曼流形,其中f∈C∞(M),ε∈R。如果ε>0。则称为收缩Ricci soliton。 在第二章的剩余部分,我们讨论Bakry-Emery Ricci曲率的一些几何性质。Bakry-Emery Ricci曲率和λ泛函有关系,也是Ricci曲率的一种推广形式,其中的"Einstein"度量恰好对应Ricci solion。我们证明下述定理： 定理 B[43]。设(M,g)是-个完备连通的黎曼流形,满足Ric+Hess(φ)≥0,其中φ∈C∞(M)是M上的上方有界函数.则流形M等距分解为N×Rl,其中M是一个完备不含测地直线的黎曼流形,Rl是l维欧式空间。函数φ在Rl因子上是常数。 定理 C[44].设(M,g)是-个完备的收缩Ricci soliton,如果g数量曲率有界,则M具有有限拓扑型。 定理C给出一个光滑流形存在完备收缩Ricci soliton的拓扑障碍。定理B是Cheeger-Gromoll的经典分裂定理[24]的一种推广形式。有一个直接的推论： 推论B’[44,101].设(M.g)是一个连通的闭n维黎曼流形,满足Ric+Hess(φ)≥0对某个φ∈C∞(M)。则(M.g)的黎曼覆盖空间存在等距分解面～M≌N×Rl,其中N是闭黎曼流形,Rl是l维欧式空间,l≥b1(M),M的第一个Betti数.φ的提升函数在Rl上是常数。 如果b1(M)=n,则(M,g)是平坦环面。 在第三章,我们考虑不同曲率条件下规范化Ricci流的收敛问题。我们首先推广了R.Hamilton关于三维非奇异解的分类定理[63]。一个规范化Ricci流的解称为非奇异的,如果这个解长期存在并且截面曲率保持一致有界。 定理D[46].任何一个闭流形M上的规范化Ricci流非奇异解满足下述情况之一: (i).这个解在Cheeger-Gromov意义下塌缩； (ii).这个解沿着一个子列收敛到一个M上的收缩Ricci soliton; (Ⅲ).这个解沿着一个子列收敛到一个M上的Ricci平坦度量； (iv).这个解沿着一个子列收敛到一个M上的负Einstein度量； (v).这个解沿着一个带基点子列,在Gromov-Hausdoff意义下收敛到一个负Einstein流形。 R.Hamilton的定理对G.Perelman的工作起到很大的推动作用。我们也希望我们的结果对于高维Ricci流的研究能够起作用.须要指出的是,R.Hamilton的方法不能用来证明定理D,我们运用G.Perelman的泛函来克服其中的困难。 当dimM=4时,非奇异解存在拓扑障碍： 推论D1[46].如果一个闭的四维流形M上存在非奇异解,则M满足下述三种情况之一: (i).M具有正秩的F-结构[25,26]; (ii).M上具有收缩Ricci soliton度量； (Ⅲ).M满足Hitchin-Thorpe不等式2x(M)≥3｜τ(M)｜,其中x(M)和τ(M)分别是M的Euler数和signature示性数。 推论D2[46].如果一个闭的四维流形M上存在非奇异解,则M的Euler数x(M)≥0。 如果我们把截面曲率的有界条件放缩到Ricci曲率有界,在四维时就有如下结果： 定理E[47].设M是一个四维闭流形,g(t),t∈[0,∞),是M上规范化Ricci流的一个解,满足Ricci曲率一致有界。如果这个解还满足如下条件之一,(i).(R)(g(t))=inf R(g(t))≤-c<0-致成立,或者(ii).λ(g(t))<0,(R)(g(t))→0并且g(t)直径一致有界,则(M,g(t))将沿着一个子列收敛到一族具有光滑度量的Einstein orbifolds,任意两个彼此等距,具有有限奇异点。 在最后一章,我们讨论收缩Ricci soliton的一些几何性质。我们在4.2节证明它们对应的势函数在流形上平方增长。在4.3节我们证明一个闭的收缩Riccisoliton的体积可以由v泛函下方控制。根据这个估计,我们在4.4节建立如下紧化定理： 定理F(定理4.4.1).设(Mk,gk)是一族闭的n维收缩Ricci solitons,满足Rick+Hess(fk)=1/2gk,并且-v(gk)≤C和∫Mk｜Rmk｜n/2dvgk≤C对某个C<∞一致成立。则在Cheeger-Gromov意义下,(Mk,gk)沿子列收敛到一个具有有限奇异点的收缩Ricci soliton(M∞,G∞),其中g∞是orbifold意义下的光滑度量并且满足收缩Ricci soliton方程。 如果n是奇数,则M∞是光滑流形并且gk→f∞光滑收敛。 根据引理4.1.2,闭流形上的v泛函与体积相互等价。所以,上述紧化定理是经典的Einstein流形紧化定理(参见定理C[3])的一个自然推广。