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Wythoffs游戏是公平组合游戏中重要的组成部分.该游戏模型可描述为:有两堆各若干个石头,游戏者轮流移动,(i)要么从两堆中选定一堆,从中移走任意正整数个石头(称为Nim移法);(ii)要么同时从两堆中移走同样多的正整数个石头(称为Wythoffs移法).
本文通过对Wythoffs游戏的移动方法进行限制和对Wythoffs游戏的扩展,得到两类新的游戏模型:OE-Wythoffs游戏与Matrix-Nim游戏.本文共分三章:
在第一章中,主要介绍公平组合游戏的历史、发展及对Wythoffs游戏的研究现状.在过去的几十年,许多学者对Wythoffs游戏进行大量研究,并取得许多成果.他们通过改变移动方法,得到Wythoffs游戏各种不同的变形.这些变形大致可以分为两类:Wythoffs游戏的限制,Wythoffs游戏的扩展.
在第二章中,主要研究Wythoffs游戏的限制.通过对Wythoffs游戏的移动方法进行限制,定义了OE-Wythoffs游戏.OE-Wythoffs游戏与Wythoffs游戏不同之处在于:游戏者选择一堆进行移动时,如果选择第一堆,只能取出奇数个;如果选择第二堆,只能取出偶数个.本文彻底解决了OE-Wythoffs游戏在normal规则与misère规则下所有的P位置.
在第三章中,主要研究Wythoffs游戏的扩展.T.S.Ferguson提出了一类新的矩阵形式的游戏模型(称作Matrix-Nim游戏):给定一个m×n阶矩阵,矩阵元素是由mn个非负整数构成.游戏者在矩阵中,选定一行(或选定一列),使该行(或该列)的每个元素都减去k(k为任意正整数).直到游戏者无法移动,游戏结束.当m=1,n=2时,Matrix-Nim游戏正是Wythoffs游戏,即Matrix-Nim游戏是对Wythoffs游戏的扩展.本文主要研究并且给出Matrix-Nim游戏(当m=n=2时)在misère规则下所有的P位置形式.