【摘 要】
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设X是一个实的无穷维的希尔伯特空间,（·,·）x是内积,||·||x恢是其上的范数.A:D（A）（?）X→X是一个无界自伴算子,它的谱集只含有离散谱σ（A）=σd（A）,并且假设Φ满足：可微,并且对x∈Z,存在M>0使得|Φ’（x）y|≤ M‖y‖X,（?）y∈Z.（Φ0）意味着对任意x∈Z,都存在X中的元素▽Φ（x）使得对y∈Z都有Φ’（x）y=（▽Φ（x）,y）x.我们考虑下面的算子方程：Ax
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设X是一个实的无穷维的希尔伯特空间,（·,·）x是内积,||·||x恢是其上的范数.A:D（A）（?）X→X是一个无界自伴算子,它的谱集只含有离散谱σ（A）=σd（A）,并且假设Φ满足：可微,并且对x∈Z,存在M>0使得|Φ’（x）y|≤ M‖y‖X,（?）y∈Z.（Φ0）意味着对任意x∈Z,都存在X中的元素▽Φ（x）使得对y∈Z都有Φ’（x）y=（▽Φ（x）,y）x.我们考虑下面的算子方程：Ax-▽Φ（x）=0.应用变分原理,极小极大方法,指标理论等方法.我们得到以下的结果：1.Φ满足超线性条件时,在一定的条件下,第一类和第二类算子方程都有一个不在算子核空间中的解.进一步,若Φ关于x是对称的,那么第一类算子方程具有无穷多解.2.Φ在A的核空间上无界时,在一定的条件下,算子方程有一个解.进一步,若Φ关于x是对称的,第一类算子方程有dim ker（A）对不同的解.3.Φ满足次线性条件时,在一定的条件下,第一类和第二类算子方程都有一个解.这里,第一类算子是指谱集σ（A）=σd（A）下方有界的算子,第二类是指σ（A）=σd（A）上下方都无界的算子.
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