图卷积神经网络是目前处理非欧式结构数据的有效工具,如社会行为分析、分子结构分析、基于骨骼的动作识别等。图卷积核是图卷积神经网络中提取节点特征最重要的因素之一,它的一些变式在理论和实验上都取得了令人满意的性能。然而,关于不同的图结构究竟如何影响这些卷积核性能的研究有限。现有的一些方法并没有探究其内在原因。本文首先从图谱理论分析入手,研究了现有的图卷积核性质,揭示了在小密度差图、大密度差图和全连接图等特定结构图中的自平滑效应及其影响。在此基础上,本文提出了不需要任何训练就可以避免自平滑的泊松核。实验结果表明,泊松核不仅能很好地处理标准数据集,而且在人造合成数据集上也有明显的优势。另一方面,数学领域中用于描述非欧几何的黎曼几何也在早期机器学习领域的流形学习算法中有所应用。流形学习算法指出了黎曼流形和拓扑图之间密切的联系。因此如果能将黎曼几何的方法应用于图卷积神经网络,将对图卷积神经网络的理论发展有重要意义。本文从黎曼几何的角度出发,通过研究黎曼流形上的等周问题和最小割问题,详细论证了球面上的等周问题和一些特定黎曼流形的最小割问题,循序渐进地给出了黎曼流形上自平滑效应的定义。通过图的斯托克斯定理,本文指出图结构和黎曼流形之间具有的高度的相似性。另外,本文从图的最小割角度验证了自平滑效应分别在黎曼流形上和图结构上形式的一致性,从几何的角度重新审视了本文用图谱理论所讨论特定结构图上的自平滑效应,进一步揭示了黎曼流形和图之间的关联,给出了自平滑效应的黎曼流形本质。