论文部分内容阅读
冯康先生最早提出了保结构算法的思想，他的科研团队发展丰富了辛几何算法并在解决Hamilton系统的系列问题中取得的许多具有影响力的成果，随着人们的广泛关注，辛算法的基本理论和在多领域的应用上的日趋成熟。Bridges,Reich,Marsden,Patrick,Shkoller等人将求解Hamilton常微分方程的辛算法的思想进行推广，针对Hamilton偏微分方程提出了多辛算法。如今，随着多辛算法的蓬勃发展，大量重要的偏微分方程都被证实可以运用多辛形式进行描述，并通过多辛算法进行数值模拟，比如：非线性Schr(o)dinger方程、Maxwell方程、KdV方程、广义Kadomtsev-Petviashvili方程、非线性波动方程、Zakharov-Kuznetsov方程，Sine-Gordon方程以及一些椭圆方程。 本文基于Bridges和Reich从Hamilton力学角度提出的多辛方程和多辛结构的理论基础，针对无限维Hamilton动力学系统，以低维波动方程为例，构造了其相应的多辛结构，得到并验证了其多辛守恒律以及局部能量和动量守恒律，这些守恒律均能较好地反映出系统方程的守恒性质并避免边界条件给算法适用性带来的影响。在此基础上，对Preissmann多辛离散格式在一维和二维多辛Hamilton偏微分方程上的具体情形进行了讨论，验证了离散多辛守恒律。对两类无限维动力学系统Sine-Gordon方程和KdV方程进行了多辛格式的构造，并通过计算机仿真，对这两种偏微分方程存在的孤子解进行了数值模拟，从模拟结果可以看出，本文中构造的多辛格式能够较好地模拟出Sine-Gordon方程和KdV方程的相关解且具有较高的精度，验证了多辛算法在处理无限维动力学系统时具有的有效性和良好的长时间数值稳定性，为保结构算法在无限维动力学系统上的实践和应用提供了参考。