可积耦合系统是孤立子与可积系统领域的一个热门研究对象,利用它能推导出许多有实际研究价值的孤立子与可积方程。达布变换一直是求解孤立子方程最有效的方法之一,由于其可以一直迭代下去,从而得到一簇解。因此,对可积耦合系统的达布变换的研究会是孤立子与可积系统的重要研究课题之一。本论文分别研究了耦合mKdV方程的可积耦合和耦合mKdV方程的双可积耦合的N重达布变换及N次变换后的行列式表示,并约化成可积耦合mKdV方程和双可积耦合mKdV方程的结果,从而得到可积耦合mKdV方程和双可积耦合mKdV方程的孤子解、光滑positon解。具体内容如下:第一章简要回顾了孤立子与可积系统、可积耦合系统、达布变换以及positon解的发展史及其结果。第二章首先回顾了可积耦合AKNS系统的建立。接着构造其N重达布变换,并将N重达布变换及N次变换后的解用行列式表示。然后考虑约化条件,得到可积耦合mKdV方程的N重达布变换及N次变换后的解。最后从零种子解出发,得到可积耦合mKdV方程的孤子解,并在此基础上,对特征值取极限,从而得到可积耦合mKdV方程的光滑positon解。第三章中构造了双可积耦合AKNS系统,并将第二章中构造达布变换的方法推广到耦合mKdV方程的双可积耦合上,得到了耦合mKdV方程的双可积耦合的N重达布变换及N次变换后的解的行列式表示。考虑约化条件后,可以得到双可积耦合mKdV方程的结果。并从零种子解出发,得到了双可积耦合mKdV方程的孤子解和光滑positon解。第四章对全文做出了总结与展望。