动力系统理论以确定的随时间演变的系统的大范围动力学性态为其研究内容,它在物理、化学、生物和经济等许多学科分支中得到广泛的应用.本文主要考虑微分系统中的临界稳定性判定和极限环构造问题.利用中心流形方法将高维系统降维,把高维系统平衡点的(局部)稳定性判定和极限环构造转化到低维系统来研究.临界非线性系统的稳定性判别是稳定性研究的一个基本课题.临界情形下非线性系统的稳定性,不能采用传统的线性化稳定性原理来分析.研究系统的临界稳定性对于更加深入的了解系统的动力学行为,结构稳定性以及有效地设计和提高控制系统的鲁棒性都具有重要意义.第三章借助Maple软件,利用中心流形理论考虑了第一临界情形下的V.I.Arnold问题.对于三次系统,得到了关于系统系数的显式判据.对于高次(n>3)系统,可以类似三次系统进行算法化处理.最后通过两个例子说明了所得判据的实用性.极限环是自治系统定性结构的另一重要问题、它除了在研究轨线的定性结构中扮演着重要角色外,还有着重要的实际意义,往往揭示出现实世界中大量存在的周期振荡现象.第四章和第五章讨论了高维系统的小扰动极限环构造问题.利用中心流形理论和实根分离算法分别给出了三维和四维多项式微分系统的极限环构造的一般方法,构造了具有六个小扰动极限环的三维二次系统和四维二次系统,以及九个极限环的三维三次系统.对于一个病毒感染动力学模型,证明了它至少具有两个小扰动极限环,能够帮助我们更好地了解病毒感染的动力学行为.最后,对于几种非竞争的三维Lotka-Volterra系统,分别构造了两个小扰动极限环.