【摘 要】
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最优化问题大量存在于信息工程、社会经济等各种领域.信赖域方法是优化算法中的一种重要方法,而且具有更易于建立收敛性和鲁棒性等优点.本文主要研究求解一般无约束优化问题、非线性方程组及其非线性最小二乘问题的改进的信赖域方法.在第一章中,首先介绍问题的背景和意义,以及信赖域算法在优化算法中的地位及其基本思想;其次对信赖域算法在国内外的研究进展进行介绍,包括研究问题介绍、信赖域方法的产生与发展、信赖域子问题
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最优化问题大量存在于信息工程、社会经济等各种领域.信赖域方法是优化算法中的一种重要方法,而且具有更易于建立收敛性和鲁棒性等优点.本文主要研究求解一般无约束优化问题、非线性方程组及其非线性最小二乘问题的改进的信赖域方法.在第一章中,首先介绍问题的背景和意义,以及信赖域算法在优化算法中的地位及其基本思想;其次对信赖域算法在国内外的研究进展进行介绍,包括研究问题介绍、信赖域方法的产生与发展、信赖域子问题的求解以及半径更新、信赖域算法与其他技巧的结合等方面;最后给出了本文研究内容的结构.第二章为相关知识基础.首先介绍了求解无约束优化问题的几种常用方法,包括线搜索型方法中的共轭梯度法、拟牛顿法、梯度法;接着分别给出了求解无约束优化问题和非线性方程组的一般信赖域算法的基本结构,最后对算法的收敛性和收敛速度等定义进行了介绍.对无约束优化问题,在第三章中提出一种自适应非单调信赖域算法.首先对信赖域子问题的半径更新引入了自适应技术,同时为了减少传统算法在出现锯齿现象时可能会减慢算法收敛速度的情况,在信赖域调整比上引入了非单调技术.此外,结合了非单调Armijo型线搜索策略以免当试探步失败时需要重新求解子问题.在一般假设条件下,证明了该算法具有全局收敛性和超线性收敛速度,数值实验也表明了该算法是可行且有效的.第四章中对于非线性方程组问题,给出了改进的非单调信赖域算法.算法不仅利用当前为止最大函数值和当前函数值的凸组合构造了非单调项,而且为了避免当试探步不成功时需重新求解信赖域子问题,结合了线搜索策略进行求解,从而降低了算法所需的计算量,提高了收敛速度.接着在一定条件下证明了算法的全局收敛性质以及近似三阶收敛速度.最后经过初步的数值实验表明了算法是可行的.全文最后进行总结,并对将来进一步的研究方向做了展望.
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