【摘 要】
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丢番图逼近的理论发展起源于两百年前,它是数论中一个具有长远历史的重要研究分支。丢番图逼近的核心问题是研究实数的有理逼近。1842年,实数有理逼近中一个有关度量性质的结论首先被给出,即经典的Dirichlet定理。1891年,Hurwitz对Dirichlet定理中逼近函数的常数进行改进,确定了适用于所有实数的最佳值。1924年,Khintchine将逼近函数推广到了更一般的函数,研究了丢番图逼近中
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丢番图逼近的理论发展起源于两百年前,它是数论中一个具有长远历史的重要研究分支。丢番图逼近的核心问题是研究实数的有理逼近。1842年,实数有理逼近中一个有关度量性质的结论首先被给出,即经典的Dirichlet定理。1891年,Hurwitz对Dirichlet定理中逼近函数的常数进行改进,确定了适用于所有实数的最佳值。1924年,Khintchine将逼近函数推广到了更一般的函数,研究了丢番图逼近中集合的Lebesgue测度。1931年,Jarnik更加精细地刻画了Khintchine定理中研究的集合的尺度,即研究了该集合的Hausdorff测度,毕竟Hausdorff测度是Lebesgue测度的细化。但是上述的研究中都对逼近函数有一定的单调性限制,而对于一般的逼近函数而言,Duffin和Schaeffer在20世纪40年代就给出了此种情况下关于Lebesgue测度的Duffin-Schaeffer猜想,因此著名的Khintchine定理就是一定条件下一般的Duffin-Schaeffer猜想,而对于Hausdorff测度上的Duffin-Schaeffer猜想是Beresnevich和Velani给出的。1996年,Hinokuma和Shiga研究了Khintchine定理中集合的Hausdorff维数,但是其逼近函数不一定具有单调性。而本文则在Hinokuma和Shiga研究的集合基础上,结合Duffin-Schaeffer猜想中集合的限制条件并将限制进一步加强对其进行研究,即研究有理数分子分母互素,且分子是奇数,分母是素数情况下的Duffin-Schaeffer猜想中集合的Hausdorff维数。这将严格依赖于此类有理数的分布性质。
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