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Drazin逆是一类非常重要的广义逆，在许多领域有着重要的应用。自Drazin逆被引入以来，很多学者围绕复矩阵、Banach代数、环及半群中的Drazin逆展开研究，已经取得了丰富的成果，但仍有很多问题有待进一步探讨。本文主要围绕环上2×2分块矩阵的群逆以及元素和与积的Drazin逆的存在性及表达式展开研究。 本研究分为两个部分：第一部分利用环论的方法与技巧，首先给出了环上(2，2，0)分块矩阵群逆存在的等价刻画及其表达式。主要结果是:对于(2，2，0)矩阵M=（ACB0），若满足R(A)(∈)R(B)，Rr(q(∈)Rr(C)，则M是群可逆的当且仅当R(B)=R(BC)，R(C)=R(CB)，Rr(B)=Rr(CB)，Rr(C)=Rr(BC).推广了X.F.Song等人的有关结论.其次探讨了环上2×2分块矩阵群逆的存在性及其表达式。主要结果是:对于分块矩阵M=（ACBD），若存在X,Y，使得CXA=C，AYB=B，且S=D-CXB群逆存在，则M是群可逆的当且仅当F=A2+BSπC是正则的，且R(F)=R(A)，Rr(F)=Rr（A)。推广了C.G.Cao等人的相关结论。第二部分主要围绕元素和与积的Drazin逆的存在性及其表达式展开研究.首先，设p，q是域F上的代数A中的两个幂等元。一方面，在分别满足(pq）2=pq和pqp=λp(λ∈F)时，给出了p，q多重组合的Drazin逆的存在性及其表达式;另一方面，在满足(pq）m=(pq）m+1，(pq)m≠(pq)m-1 (m≥1)时，给出了p，q线性组合的Drazin逆的存在性及其表达式.进而将C.Y.Deng和Y.F.Shi等人在复矩阵以及Banach代数上的一些结论推广到一般的域上代数中.其次，给出了Dedekind-finite环上的两个群可逆元素a，b在满足baa＃=abb＃aa＃=baa＃bb＃时，a+b群逆的存在性及其表达式，推广了X.Zhu和X.J.Liu等人的一些结论。