有限元方法作为求解偏微分方程,特别是线性椭圆型偏微分方程的一种有效数值方法,已经在许多领域得到广泛地应用.尽管在结构力学和固体力学中早已取得比较完美的结果,但在流体力学中由于物理模型和数学方程相对来说较为复杂,使得有限元方法在这一领域的发展相对较晚.事实证明,有限元方法几乎适用于任何连续体或场问题.在流体力学中问题的求解区域一般不会象固体力学中那样通常是固定的,更多的问题是边界待定的,或称区域是可变的.由于区域的不确定,无疑增大了有限元方法求解的难度,有限元方法的基础-变分原理的提法也必然有较大的不同.许多科技工作者在变域变分的发展中做出了很大贡献并获得成功.然而在数学理论基础方面,尚存在一定的欠缺.本文在前人工作的基础上对变域变分原理的数学理论基础进行了初步的探讨.本文主要做了以下几项工作:1.首先从比较简单的一维问题入手,证明了一维变域变分问题解的存在性,给出了一维变域变分有限元解的误差估计;2.在一维问题的基础上,对二维问题进行了讨论,证明了二维变域变分问题解的存在性,给出了二维变域变分有限元解的误差估计;3.作为理论分析结果的验证,对一维和二维问题的一般情形给出了单元分析和具体算例及算例的算法分析及结果.