在很多实际系统中，时滞微分方程是普遍存在的，这引起学者们的广泛重视并取得了很多重要成果.稳定性是系统的一个基本结构特征，稳定是系统能够正常运行的前提，所以稳定性问题是微分方程理论研究的一个重要课题．因此研究时滞微分方程的稳定性具有重要的理论意义和现实意义．本文对时滞微分方程的稳定性及在复杂网络同步分析中的应用进行研究．本博士论文由四章组成，主要讨论了无穷时滞退化微分方程的渐近稳定性，分数时滞微分方程稳定性以及复杂网络同步性问题．　　 首先，我们介绍了问题的背景与现状及本文所做的主要工作．　　 其次，我们给出了无穷时滞退化微分方程稳定的V泛函法，并运用矩阵分析技巧，在系数矩阵满足简单的条件下，使得方程实现了渐近稳定．所获得的结果不仅可以应用到非退化时滞微分方程，而且推广了有界时滞退化微分方程的相关结果，数值算例表明所给出的条件是易于实现和计算的.　　 再者，利用李亚普诺夫直接法和Laplace变换，我们首次给出了分数中立型和退化中立型微分方程Mittag-Leffler稳定的判据，所得的结果推广了分数常微分方程和分数滞后微分方程的相应结果，具有较广泛的适用性．　　 最后,我们研究了复杂网络的同步问题.在文献[75]中，作者获得了树形无耦合时滞复杂网络的自适应同步的一个简单方法，通过自动加强耦合强度，网络很快地实现了同步．事实上，树是一个没有圈的图，基于文献[75]的工作和谱图理论知识，我们得到了一般图上复杂网络的自适应指数同步方法，根据我们的网络模型，对原始图加边，即增加图的代数连通度，网络会更快地同步．进一步地，根据时滞微分方程的不变原理，我们获得了一般图上具有耦合时滞复杂网络的自适应同步方法，数值的模拟表明对原始图减边，网络将会更快地实现同步．因此在保证图的连通性的条件下适当地减边，可以使得网络更快地同步.最后，根据退化时滞微分方程理论和线性矩阵不等式方法，我们首次研究了具有无界耦合时滞的退化网络，得到了网络全局同步的条件，数值算例表明所获得的结果是有效的，在计算上是易于实现的．